2023年香港亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）竞赛初赛数学试卷.doc

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2023年香港亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）竞赛初赛数学试卷

一、甲部：每題4分SectionA-eachquestioncarries4marks

1、857142+85714.2+8571.42+857.142+85.7142+8.57142+0.857142=?

2、求a+b+c+d=5的非負整數解組的數目．

Findthenumberofnon-negativeintegralsolutionsetsofa+b+c+d=5.

3、圖3中，O是圓的圓心，BD和CE都是圓的直徑，AB:BC:CD=1:2:4，∠ACE=x°

InFigure3,Oisthecentreofthecircle.BDandCEarediametersofthecircle.AB:BC:CD=1:2:4.∠ACE=x°

4、已知x2?2y2=1的首三組正整數解是x=3y=2、x=17y=12andx=99

Giventhatthefirstthreesetsofsolutionsofx2?2y2=1arex=3y=2,x=17y=12andx=99

5、一個長方體的長比闊大3，闊比高出大3，長方體的體積是7820，求長方體的表面面積．

Foracuboid,thelengthis3greaterthanthewidth,andthewidthis3greaterthantheheight.Thevolumeofthecuboidis7820.Findthetotalsurfaceareaofthecuboid.

6、設x和y为正整數．若x2

Letxandybepositiveintegers.Ifx2

7、若a1=20,a2=23，而且對於所有正整數n,an+2=an+1?an

Ifa1=20,a2=23,andforallpositiveintegern,an+2=an+1?an,findthearithmeticmeanofa

8、己知正整數x和y滿足方程20x?23y=2023，求x+y的最小可能值.

Itisknownthatxandyarepositiveintegersand20x?23y=2023.Findtheleastpossiblevalueofx+y.

二、乙部：每題5分SectionB-eachquestioncarries5marks

9、f(x)=

10、4300

11、sin

12、己知將4件不同的禮物送給2個人（每人最少得到1件）有14種方法．

問：將5件不同的禮物送給3個人（每人最少得到1件）有多少種方法？

Itisgiventhatthereare14methodstodistribute4differentpresentsto2peoplewhereeachpersongetsatleastIpresent.

Question:Distribute5differentpresentsto3people,whereeachpersongetsatleast1present.Howmanymethodsarethere?

13、一個三角形的其中兩邊長度是14和15，面積是84．求第三邊的長度的可能值的平方和．

Thereisatriangle.Thelengthsoftwosidesare14and15.Theareais84.Findthesumofthesquaresofthepossiblevaluesofthelengthofthethirdside.

14、一個三角形的其中兩條頂垂線的長度（高）是36和45，第三條頂垂線的長度必大於x，求x的最大可能值．

Thelengthsoftwoofthealtitudes(heights)ofatriangleare36and45.Thelengthofthethirdaltitudemustbegreaterthanx.Findthemaximumpossiblevalueofx.

15、圖15中，AB=3