2024版新教材高考数学复习特训卷考点练77探究问题.doc

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考点练77探究问题

1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝AD＝PA＝2CD＝4，G为PD的中点．

(1)求证AG⊥平面PCD；

(2)若点F为PB的中点，线段PC上是否存在一点H，使得平面GHF⊥平面PCD？若存在，请确定H的位置；若不存在，请说明理由．

2．[2023·安徽合肥模拟]在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为eq\r(2)的正方形，PA＝PD＝eq\r(5)，点P在底面ABCD的射影为点O，且PO＝2，点M是BC的中点．

(1)求证：AD⊥PM；

(2)在线段OM上，是否存在点N，使二面角A-PB-N的余弦值为eq\f(\r(5),5)？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由．

考点练77探究问题

1．解析：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，CD⊥AG.

又PA＝AD，G为PD的中点，所以AG⊥PD，而PD∩DC＝D，所以AG⊥平面PCD.

（2）以A为坐标原点，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))所在方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，2，0），D（4，0，0），P（0，0，4），F（0，2，2），G（2，0，2）.

所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝（4，2，－4），设eq\o(PH,\s\up6(→))＝keq\o(PC,\s\up6(→))（0≤k≤1），所以eq\o(PH,\s\up6(→))＝（4k，2k，－4k），则H（4k，2k，－4k＋4），所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝（4k－2，2k，－4k＋2），eq\o(FG,\s\up6(→))＝（2，－2，0），

设平面GHF的法向量为n＝（x，y，z），则n·eq\o(GH,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(FG,\s\up6(→))＝0，

即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（4k－2）x＋2ky＋（－4k＋2）z＝0,2x－2y＝0))，令x＝2k－1，则n＝（2k－1，2k－1，3k－1），

由（1）可知eq\o(AG,\s\up6(→))＝（2，0，2）为平面PCD的一个法向量，若平面GHF⊥平面PCD，则n·eq\o(AG,\s\up6(→))＝0，即2（2k－1）＋2（3k－1）＝0，解得k＝eq\f(2,5).

即PH＝eq\f(2,5)PC时平面GHF⊥平面PCD.

2．解析：（1）证明：连接OA，OD，

因为OP⊥平面ABCD，OA?平面ABCD，OD?平面ABCD，

所以PO⊥OA，PO⊥OD.

又PA＝PD＝eq\r(5)，PO＝2，所以OA＝OD＝1.

又AD＝eq\r(2)，所以△AOD为等腰直角三角形．

设OM与AD交于点E，则点E为AD的中点，

又点M是BC的中点，底面ABCD为正方形，所以AD⊥OM，

又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以PO⊥AD，又PO∩OM＝O，

所以AD⊥平面POM，PM?平面POM，

所以AD⊥PM.

（2）由（1）知，OA，OD，OP以O为坐标原点，分别以OA，OD，OP所在方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

假设存在点N在线段OM上满足条件，设eq\o(ON,\s\up6(→))＝λeq\o(OM,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，则

A（1，0，0），B（2，1，0），P（0，0，2），M（eq\f(3,2)，eq\f(3,2)，0），∴N（eq\f(3,2)λ，eq\f(3,2)λ，0），

eq\o(AB,\s\up6(→))＝（1，1，0），eq\o(AP,\s\up6(→))＝（－1，0，2），eq\o(PB,\s\up6(→))＝（2，1，－2），eq\o(NB,\s\up6(→))＝（2－eq\f(3,2)λ，1－eq\f(3,2)λ，0），

设m＝（x1，y1，z1）为平面PAB的一个法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AB,\s\up6(→))＝0,m·\o(AP,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＝0,－x1＋2z1＝0))，

令z1＝1，则y1＝－2，x1＝2，m＝（2，－2，1），

设n＝（x2，y2，z2）为平面