2024版新教材高考数学复习特训卷考点练71线面垂直关系.doc

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考点练71线面垂直关系

1．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则()

A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α

C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n

D．若m?α，n⊥α，l⊥n，则l∥m

2.

如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是()

A．PA⊥平面ABC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥平面PBC

D．三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形

3．(多选)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是()

4.

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是________．

5．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，M，N分别为BC，AB的中点．

(1)求证：MN∥平面PAC；

(2)求证：平面PBC⊥平面PAM；

(3)在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由．

考点练71线面垂直关系

1．答案：B

解析：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：

在A中，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，由于m，n不一定相交，

则l与α相交、平行或l?α，即l不一定垂直于α，故A错误；

在B中，若l∥m，m∥n，则l∥n，又因为l⊥α，故n⊥α，故B正确；

在C中，若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n，故C错误；

在D中，若m?α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选B.

2．答案：C

解析：因PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点（不与A，B重合），

则PA⊥平面ABC，A正确；

而BC?平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，PC?平面PAC，则有BC⊥平面PAC，B正确；

由选项A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由选项B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，D正确；

假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中，∠PAC＝90°，矛盾，

所以AC⊥平面PBC不正确，C错误．故选C.

3．答案：BC

解析：设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC（或其补角）为异面直线OP，MN所成的角，

在直角三角形OPC中，OC＝eq\r(2)，CP＝1，故tan∠POC＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立，故A错误．

对于B，如图2所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM-NADT可得SN⊥平面ANDT，而OQ?平面ANDT，故SN⊥OQ，而SN∩NT＝N，故OQ⊥平面SNTM，

又MN?平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，

所以MN⊥平面OPQ，而PO?平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．

对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．

对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，OQ＝eq\r(AO2＋AQ2)＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，PO＝eq\r(PK2＋OK2)＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，QO2PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D错误．

4．答案：0a≤1

解析：连接DM，如图：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM.

又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，

所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，

所以以DC为直径的圆与AB有交点，

所以0a≤1.

5．解析：（1）证明：因为M，N分别为BC，AB的中点，所以MN∥AC.

因为MN?平面PAC，AC?平面PAC，所以MN∥平面PAC.

（2）证明：因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，

因为AB＝AC＝2，M为BC的中点，所以AM⊥BC.

因为AM∩PA＝A，所以BC⊥平面PAM.

因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM.

（3）存在．

过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，ME?平面ABC，

所以PA⊥ME.

因为M