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第01讲中考热点实数(知识精讲)
【温馨提醒】中考考点第一模块的“数”,包括有理数与实数等章节,但是涉及的知识点合计有45个考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题,命制原则以送分送到位为准。但是也有一些地市的命制以多个模块(不仅仅是实数)的多个知识点综合的考核,既可以综合实数模块的多个考点,又可以实数结合概率的知识点,还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运用,以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实,要关注到基础概念的准确深入的理解,而不是死记硬背知识点。
【考纲要求】
1.了解有理数、无理数、实数的概念;借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义,会比较实数的大小;
2.知道实数与数轴上的点一一对应,会用科学记数法表示有理数,会求近似数和有效数字;了解乘方与开
方、平方根、算术平方根、立方根的概念,并理解这两种运算之间的关系,了解整数指数幂的意义和基本
性质;
3.掌握实数的运算法则,并能灵活运用.
【知识导图】
【考点梳理】
考点一:实数的分类
1.按定义分类:
2.按性质符号分类:
有理数:整数和分数统称为有理数或者“形如(m,n是整数n≠0)”的数叫有理数.
无理数:无限不循环小数叫无理数.
实数:有理数和无理数统称为实数.
要点诠释:
常见的无理数有以下几种形式:
(1)字母型:如π是无理数,等都是无理数,而不是分数;
(2)构造型:如2.10100100010000…(每两个1之间依次多一个0)就是一个无限不循环的小数;
(3)根式型:…都是一些开方开不尽的数;
(4)三角函数型:sin35°、tan27°、cos29°等.
考点二:实数的相关概念
1.相反数
(1)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0;
(2)几何意义:在数轴上原点的两侧,与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数;
(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.
2.绝对值
(1)代数意义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
可用式子表示为:
(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.距离是一个非负数,所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质,即绝对值是一个非负数.
用式子表示:若a是实数,则|a|≥0.
要点诠释:
若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.
3.倒数
(1)实数的倒数是;0没有倒数;
(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数.
4.平方根
(1)如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.a(a≥0)的平方根记作.
(2)一个正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根.a(a≥0)的算术平方根记作.
5.立方根
如果x3=a,那么x叫做a的立方根.
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;0的立方根仍是0.
考点三:实数与数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,数轴的三要素缺一不可.
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.
要点诠释:
(1)数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.
(2)实数和数轴上的点是一一对应的.
考点四:实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点,靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数;绝对值大的反而小.
3.对于实数a、b,若a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab.
4.对于实数a,b,c,若ab,bc,则ac.
5.无理数的比较大小:
利用平方转化为有理数:如果ab0,a2b2ab;
或利用倒数转化:如比较与.
要点诠释:
实数大小的比较方法:(1)直接比较法:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.(2)数轴法:在数轴上,右边的数总比左边的数大.
考点五;实数的运算
1.加法
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数.
满足运算律:加法的交换律a+b=b+a,加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c).
2.减法
减去一个数等于加上这个数的相反数.
3.乘法
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
几个非零实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数有奇数个时,积为负.几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.
乘法运算的运算律:(1)乘法交换律ab=ba;(2)乘法结合律(a
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