2024版新教材高考数学复习特训卷考点练81直线与圆的位置关系.doc

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考点练81直线与圆的位置关系

1．若直线x－y＋1＝0与圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()

A．[－3，－1]

B．[－1，3]

C．[－3，1]

D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)

2．[2023·北京顺义一中模拟]过点P(eq\f(1,2)，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为()

A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y－2＝0

C．2x－4y＋3＝0D．2x＋4y－3＝0

3．(多选)已知直线l：kx－y－4k＋3＝0(k∈R)，圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，O是坐标原点，则下列结论正确的是()

A．当k＝1时，直线l在y轴上的截距为1

B．O到直线l的距离的最大值为5

C．存在实数k，使得直线l与圆C相切

D．当k＝1时，直线l被圆C截得的弦长最短

4．[2023·山东烟台模拟](多选)已知直线l：xsinα－ycosα－1＝0与圆O：x2＋y2＝6相交于A，B两点，则()

A．△AOB的面积为定值

B．cos∠AOB＝－eq\f(2,3)

C．圆O上总存在3个点到直线l的距离为2

D．线段AB中点的轨迹方程是x2＋y2＝1

5.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件的直线l共有________条．

6．已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，一条动直线l过A(1，3)与圆C相交于P、Q两点，若点A为弦PQ的中点，则直线l的方程为________．

考点练81直线与圆的位置关系

1．答案：C

解析：(x－a)2＋y2＝2圆心为(a，0)，半径为eq\r(2)，由题意得：eq\f(|a＋1|,\r(1＋1))≤eq\r(2)，解得a∈[－3，1].

故选C.

2．答案：C

解析：

C(1，0)，R＝2.

取AB的中点M，连接CM，则CM⊥l且|CM|≤|CP|，

而coseq\f(∠ACB,2)＝eq\f(|CM|,2)≤eq\f(|CP|,2)，当且仅当CP⊥l时等号成立，

故∠ACB最小时，CP⊥l，此时kCP＝eq\f(1－0,\f(1,2)－1)＝－2，故直线l的斜率为eq\f(1,2)，

故直线l的方程为y＝eq\f(1,2)(x－eq\f(1,2))＋1，即2x－4y＋3＝0.

故选C.

3．答案：BD

解析：当k＝1时，直线l的方程为：x－y－1＝0，即y＝x－1，由直线的斜截式方程可知，直线l在y轴上的截距为－1，故A错误；

由kx－y－4k＋3＝0，得y－3＝k(x－4)，直线l恒过定点P(4，3)，所以O到直线l的距离的最大值就是点O与定点P的连线的距离，|OP|＝eq\r(（0－4）2＋（0－3）2)＝5，故B正确；

由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心坐标为C(3，4)，半径为r＝2，

因为直线l过定点P(4，3)，所以(4－3)2＋(3－4)2＝24，所以P在圆C内，所以直线l与圆C相交，故C错误；

当k＝1时，直线l的方程为：x－y－1＝0，即y＝x－1，由直线l恒过定点P(4，3)，

又x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心坐标为C(3，4)，半径为r＝2，kCP＝eq\f(4－3,3－4)＝－1，所以kCP·kl＝1×(－1)＝－1，所以l⊥CP，

所以当k＝1时，直线l被圆C截得的弦长最短，故D正确．

故选BD.

4．答案：ABD

解析：对A，点O到直线l：xsinα－ycosα－1＝0的距离d＝eq\f(|0－0－1|,\r(sin2α＋cos2α))＝1，为定值，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)为定值，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d为定值，故正确；

对B，由A知，coseq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(d,r)＝eq\f(1,\r(6))，所以cos∠AOB＝2cos2eq\f(1,2)∠AOB－1＝－eq\f(2,3)，故正确；对C，因为圆的半径r＝eq\r(6)，圆心到直线的距离d＝1，所以r－d＝eq\r(6)－12，故圆上到直线的距离为2的点只有2个，故错误；对D，设线段AB中点P(x，y)，由圆的几何性质知|OP|＝d＝1，所以P点的轨迹方程为eq\r(x2＋y2)＝1，即x2＋y2＝1，故正确．

故选ABD.

5．答案：4

解析：由已知圆C：(x＋1)2＋(y－2