2024年竞赛中的数学归纳法.doc

竞赛中的数學归纳法

（壹）数學归纳法的基本形式

（1）第壹数學归纳法

设是壹种与正整数有关的命題，假如:

①當（）時，成立；

②假设成立，由此推得時，也成立，那么，根据①②對壹切正整

数時，成立．

例1（07江西理22）设正整数数列满足：，且對于任何，有

．

（1）求，；（2）求数列的通项．

解：（1）据条件得①當時，

由，即有，解得．由于為正整数，故．當時，由，解得，因此．

（2）由，，，猜测：．下面用数學归纳法证明:

1當，時，由（1）知均成立；

2假设成立，，则時由①得,

,由于時，

，因此．，因此．

又，因此,故，即時，成立．

由1，2知，對