2023年香港亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）竞赛决赛数学试卷.doc

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2023年香港亚洲国际数学奥林匹克公开赛（AIMO）竞赛决赛数学试卷

一、甲部：每題3分SectionA-eachquestioncarries3marks

1、求3?xx+2

Findtheinversefunctionof3?xx+2

2、3

3、a+b+c=0,

4、已知A(20,23)、B(8,6)和C(?4,y)三點共線，求y的值．

IfthethreepointsA(20,23),?B(8,6),andC(?4,y)arecollinear,findthevalueofy.

5、f(

6、a+

7、在座標平面上，無論k為何值，直線kx?y?20k+23=0都經過一定點P．求P的座標．

Ontherectangularcoordinateplane,straightlinekx?y?20k+23=0passesthroughafixedpointPdespiteofthevalueofk.FindthecoordinatesofP.

8、在圖8中，ABCD是一個四邊形，AB=30，CD=AD，∠B=∠D=90°

InFigure8,ABCDisaquadrilateral.AB=30.?CD=AD.∠B=∠D=90°

9、設a和b為相異實數，若a2=20a?23b

Letaandbbedistinctrealnumbers.Findthevalueofab+b

10、設[x]表示不大於x的最大整數．設f(x)=x

求f(2)+

Let[x]denotesthegreatestintegernotgreaterthanx.Letf(x)=x

Findthevalueoff(2)+

11、在圖11中，ΔABC的面積是30．D、E和F分別是BC、CA及AB上的點使得BD:DC=1:2，ΔBCF的面積等於四邊形BDEF的面積．求

InFigure11,theareaofΔABCis30.D,E,andFarepointsonBC,CA,andABespectivelysuchthatBD:DC=1:2.TheareaofΔBCFisequaltotheareaofquadrilateralBDEF.Findtheareaof

12、在圖12中，A、B、C、D和E五點共圓，∠CAD=2

InFigure12,thefivepointsA,B,C,D,andEareconcyclic.∠CAD=23

二、乙部：每題5分SectionB--eachquestioncarries5marks

13、3

14、求(x

Findalltherealrootsof(x

15、設n!表示不大於n的所有正整數之積．若a和b是正整數，且2023!=3a×b

Letn!denotetheproductofallpositiveintegersnotgreaterthann.Ifaandbarepositiveintegerssuchthat?2023!=3a×b

16、ω≠1.

17、考慮0°≤θ≤90°，若

Consider0°≤θ≤90°.If

18、設x和y為不大於50的正整數．若24xy

Letxandybepositiveintegersnotgreaterthan50.If24xy

19、設n為一個正整數．對於所有不小於n的正整數，都能寫成20、21、22與23當中的某些數之和．求n的最小可能值．

（在和式中每個數出現的次數不限，亦可以不出現）

Letnbeapositiveinteger.Forallpositiveintegersnotsmallerthann,itcanbexpressedasasumofnumbersamong20,21,22,and23.Findtheminimumpossiblevalueofn.(Eachnumbermayoccurmanytime