点、直线、平面之间的位置关系.doc

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编:11gz2sx012381

学员编号：cxc186年级：高一课时数：3(99/111)

学员姓名：廖泓杰辅导科目：数学学科教师：彭文俊

学科组长/带头人签名及日期

课题

点、直线、平面之间的位置关系

授课时间：2012-11-03

备课时间：2011-11-30

教学目标

1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的根本性质.

2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.

重点、难点

利用三个公理证明共点、共线、共面问题.

考点及考试要求

主要考异面直线所成的角的运算，还有就是判断面与面的位置关系

教学内容

平面的根本性质

平面含义

平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最根本的概念〔不加定义的原始概念〕，只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.

平面的根本特征是无限延展性

2、平面的画法及表示

水平放置的平面通常画成一个平行四边形，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的局部用虚线画出来，如图3.

图2图3

平面的表示法有如下几种：〔1〕在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；〔2〕用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD〔图5〕；〔3〕用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC〔图5〕.

图4图5

3.点与直线、平面的位置关系如下表：

点A在直线a上〔或直线a经过点A〕

A∈a

元素与集合间的关系

点A在直线a外〔或直线a不经过点A〕

Aa

点A在平面α内〔或平面α经过点A〕

A∈α

点A在平面α外〔或平面α不经过点A〕

Aα

3、平面的根本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言〔图6〕描述.

符号语言表示：

假设A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,那么aα.

图6图7

思考：如何用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.

假设A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,那么aα.如图〔图7〕.C·B

C

·

B

·

A

·

α

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

平面的根本性质”小结：

1.如图10，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系.

图10

2.画图表示以下由集合符号给出的关系：

(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.

3.直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.

图13

4.如图15，α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.

图15

二、空间中直线与直线之间的位置关系

1.空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2.两异面直线的画法.

两异面直线不共面，所以作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.

图2

3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

=a∥ca

=a∥c

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

空间四边形ABCD，E、F、H、G分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形

4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

5.两条异面直线所成的角

以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，那么a′，b′所成的锐角〔或直角〕叫做两条异面直线所成的角.

图3

〔2〕强调：

①a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成