初中数学教学：41小专题8 对称性质在折叠问题中的应用.doc

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小专题8对称性质在折叠问题中的应用

与折叠有关的计算常用性质

1．折叠的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形；

(1)线段相等：C′D＝CD，BC′＝BC；

(2)角度相等：∠1＝∠2，∠3＝∠4；

(3)全等关系：△BC′D≌△BCD.

2．折痕可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分)，BD⊥CC′；

3．折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等)．

类型一将矩形ABCD沿AE折叠，点D落在BC边的点F处

折叠图形：

结论：1.△AEF≌△AED，直角三角形有：△ABF，△CEF，△ADE，△AEF

2．△ABF∽△FCE

图形演变：

(点P为AB中点)

1．(2021·通辽)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为(D)

A.eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)eq\r(2)

C.eq\f(3,2)或eq\f(3,2)eq\r(2) D.eq\f(3,2)eq\r(2)或eq\f(3,5)eq\r(5)

2．(2021·宜宾)如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上．若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是(A)

A．2 B.eq\f(7,4) C.eq\f(3\r(2),2) D．3

3．(2021·自贡)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM∶MD＝1∶2，将△BMA沿BM对折至△BMN，连结DN，则DN的长是(D)

A.eq\f(5,2) B.eq\f(9\r(5),8) C．3 D.eq\f(6\r(5),5)

4．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，将矩形沿CE折叠，点D的对应点F恰好落在边BC上，CE交BD于点H，连结HF.若BF＝HF，则∠ADB＝30度．

5．(2021·东营)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连结DG并延长交AB于点E.若AE＝5，则GE的长为eq\f(49,13)．

6．(2021·盘锦)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连结AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是4eq\r(2)．

类型二将矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点记为C′，C′B交AD于点E

折叠图形：

结论：1.△BC′D≌△BCD

2．∠3＝∠4，AD∥BC?△BED为等腰三角形(由“平行线＋角平分线”可以找到等腰三角形)，△BAE≌△DC′E

7．(2021·丹东)如图，在矩形ABCD中，连结BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD.若AB＝2eq\r(3)，则点O到BD的距离为(B)

A.eq\r(3) B．2 C.eq\f(3,2)eq\r(3) D．3

8．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于(B)

A.eq\f(3,5) B.eq\f(5,3) C.eq\f(7,3) D.eq\f(5,4)

9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF∶BF的值为(B)

A．2 B.eq\f(5,3) C.eq\f(5,4) D.eq\r(3)

类型三将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点记为A′，点B恰好落在点B′处

折叠图形：

结论：1.B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE

2．角平分线遇平行线时出现的等腰三角形?△B′EF为等腰三角形(B′E＝B′F)

3．对称点的连线被对称轴垂直平分?折痕EF垂直平分BB′

4．四边形EB′FB为菱形

图形演变：

10．(2021·毕节)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2.将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是(B)