导数与函数的极值、最值讲义——2025届高三数学一轮复习.docxVIP

基础课18导数与函数的极值、最值

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

导数与函数的极值、最值

掌握

2023年新高考Ⅰ卷T

2023年新高考Ⅱ卷T

2022年全国甲卷（理）T

2022年全国乙卷（文）T

★★★

数学运算

直观想象

逻辑推理

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，导数与函数的极值与最值是高考常考内容，试题难度中等及以上.预计2025年高考命题情况变化不大

一、函数的极值与导数

条件

f

x0附近的左侧fx①

x0附近的左侧fx③

图象

极值

fx0为极⑤

fx0为极⑥

极值点

x0为极⑦大

x0为极⑧小

【提醒】1.函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点；

2.在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值；

3.极大值与极小值之间无确定的大小关系.

二、函数的最大（小）值

1.函数fx在区间[

如果在区间[a,b]上函数

2.求y=fx

（1）求函数y=fx在区间a

（2）将函数y=fx的各极值与端点处的函数值?f

1.fx0=0

若函数fx可导，则fx0=0是x0为f

2.极大值（或极小值）可能不止一个，也可能没有，极大值不一定大于极小值.

3.极值与最值的关系

极值只能在定义域内（不包括端点）取得，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数的最值只要不在端点取得，则必定在极值点处取得.

4.若函数fx在闭区间[a,b]内是单调函数，则f

5.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）

（1）函数fx在区间a,b

（2）函数的极小值一定是函数的最小值.(×)

（3）函数的极小值一定不是函数的最大值.(√)

（4）函数y=fx的零点是函数

2.（易错题）已知函数fx=x3+3a

【易错点】忽视极大值点与极小值点的区别，忽视验证x=?

[解析]因为fx在x=?1处有极值0，且fx=3x2+6ax+b，所以f?1=0,f?1=0,即3?6a+b=0,?1+3a?b+

题组2走进教材

3.（人教A版选修②P98?T5（2）改编）函数fx=

[解析]因为fx

所以f

令fx=

令fx

故fx在[0,2]上单调递减，故f

4.（人教A版选修②P104?T9改编）若函数fx=

[解析]fx=3x2?2ax+2，由题意知f

题组3走向高考

5.[2023·新高考Ⅱ卷]（多选题）若函数fx=a

A.bc0 B.ab0 C.

[解析]因为fx=alnx+bx+cx2x0，所以fx=ax2?

考点一利用导数研究函数的极值［多维探究］

根据导数图象判断极值

典例1[2024·河南质检]已知定义在R上的函数fx，其导函数fx

①f

②函数fx在x=c

③函数fx在x=c

④函数fx的最小值为f

A.③ B.①② C.③④ D.④

[解析]由fx的图象可得，当xc时，fx0,fx单调递增；当cx

由题意可得fa

由题意得函数fx在x=c

fdf

导函数图象的应用策略

1.由y=fx的图象与

2.由导函数y=fx的图象可得

求函数的极值、极值点个数

典例2已知函数fx

（1）当a=12

（2）讨论函数fx

[解析]（1）当a=12

函数的定义域为0,+∞且f

令fx=0，得x=2，于是当

x

0

2

2

f

+

0

-

f

↗

ln

↘

故fx在定义域上的极大值为f

（2）函数fx的定义域为0,+∞，

当a≤0时，f

即函数fx在0

当a0时，若x∈

若x∈1a,+∞，则

综上可知，当a≤0时，函数

当a0时，函数y=

求函数的极值或极值点的步骤

1.求fx，不要忘记函数

2.求方程f

3.检查在方程的根的左右两侧f

由函数的极值（极值点）求参数的取值范围

典例3（1）已知函数fx=12x2?

（2）若函数fx=a2x

[解析]（1）因为函数fx

所以f

当a∈0,1时，由fx0，可得0

当a=1时，

当a∈1,+∞时，由fx0，可得0x

故a的取值范围为0,

（2）函数fx=a2x

由题意可知，函数y=fx

由fx=0可得a=

原问题等价于该方程在0,+∞上有解，则对于二次方程a=2t?t2，即

因此实数a的取值范围是?∞,1

变式设问若函数fx=ax3?2

[解析]若fx在R上无极值点，则fx在R上单调，即f

当a=0时，

当a≠0时，fx=3ax2?4x+

故实数a的取值范围是[4

已知函数极值点或极值求参数的两个关键点

列式

根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解

验证