导数的概念及其意义、导数的运算讲义——2025届高三数学一轮复习.docxVIP

基础课16导数的概念及其意义、导数的运算

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

导数的概念及其几何意义、导数的运算

掌握

2023年全国甲卷（文）T

2023年全国乙卷（理）T

2023年全国乙卷（文）T

2023年北京卷T

2023年天津卷T

★★★

数学运算直观想象逻辑推理

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，导数的运算及其几何意义是高考常考内容，试题难度中等偏下.命题热点为复合函数求导，预计2025年高考命题情况变化不大

一、函数y=fx

定义

如果当Δx→0时，平均变化率①ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，那么称y=fx在x

几何意义

函数y=fx在x=x0处的导数fx0的几何意义是曲线

二、基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

fx=

f

fx=

f

f

f

f

f

fx=

f

f

fx

fx=

f

f

f

三、导数的运算法则

若fx，

（1）[f

（2）[fxg

（3）[fxg

（4）[cf

四、复合函数的定义及其导数

定义

一般地，对于两个函数y=fu和u=gx，如果通过中间变量u,y可以表示成?x的函数，那么称这个函数为函数y

导数

对于由函数y=fu和u=gx复合而成的函数y=f

1.fx0代表函数fx在x=x0

2.[1

3.曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与曲线相切只有一个公共点.

4.函数y=fx的导数fx反映了函数f

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）

（1）fx0是函数y=f

（2）曲线y=fx在某点处的切线与曲线y

（3）fx0

（4）若fx=sin?x，则

2.（易错题）过点M1,1且与曲线y=x

【易错点】容易混淆“在点”和“过点”而漏解.

[解析]因为y=x3+1，所以y=3x2，设过点M1,1的切线与曲线y=x3+1相切于点Px0,x03+1，根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k=3

题组2走进教材

3.（人教A版选修②P81·练习T2改编）若函数fx=e?2x+a在x

[解析]因为fx=e?2x+a，所以fx=?2

4.（人教A版选修②P81?T6改编）已知函数fx满足fx=f

[解析]依题意得，fx=?fπ4sinx?cosx，令x=π

题组3走向高考

5.[2023·全国乙卷改编]已知函数fx=1x?1ln

[解析]由fx=?1x2?lnx+1+1x

考点一导数的运算［自主练透］

1.设函数fx满足limΔx→0

A.?1 B.1 C.?2

[解析]因为lim

=?

=?2fx0=

2.（多选题）下列求导运算正确的是(AD).

A.若fx=sin

B.若fx=

C.若fx=

D.若fx=

3.已知函数fx=2f3

A.?209 B.?119 C.

[解析]∵f

∴f3

∴fx=2x?

1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时进行换元.

考点二导数的几何意义及其应用［多维探究］

导数与函数的图象的关系

典例1[2024·广西模拟]设函数fx在定义域内可导，y=fx的大致图象如图所示，则导函数

A. B.

C. D.

[解析]原函数的单调性如下:当x0时，fx单调递增；当x0时，fx的单调性变化依次为增、减、增.故当x0时，fx0；当

变式设问已知函数y=fx在?1,1内的图象是下列四个图象之一，且其导函数

A. B. C. D.

[解析]由y=fx在?1

解决导数与函数图象的关系问题的两个关键点

1.抓住函数在单调递增区间内的导数值为正，函数在单调递减区间内的导数值为负.

2.抓住函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映导函数图象在相应点处的变化情况.

求切线方程

典例2[2023·全国甲卷]曲线y=exx+

A.y=e4x B.y=e

[解析]设曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y?e2=kx?1

变式设问若将本例中的条件“在点1,e2处”改为“过点?

[解析]设切点为x0,ex0

因为y=ex

即ex0x0+

则切线方程为y=

求曲线过点P的切线方程的步骤

1.当Px0,

2.当Px

第一步，设出切点坐标Qx

第二步，写出过点Qx1,

第三步，将点Px0,

第四步，将x1的值代入方程y?f

求切点坐标

典例3设曲线y=ex在点0,1处的切线与曲线y=1

[解析]∵函数y=ex的导函数为y=ex，∴曲线y=ex在点0,1处的切线的斜率k

∴曲线y=1xx0在点P处的切线的斜率k2=?1x02，由题意知k1k2=?1，即1??