点群与晶系分析课件.pptVIP

定理一(欧拉定理):通过任意二相交对称轴之交点,必可找到第三个新轴,其作用等于前二者之积,其轴次及其与两个原始对称轴之间的交角则取决于该二原始对称轴的轴次及它们之间的交角。

推理:如有一m次对称轴与一n次对称轴相交,则围绕n次对称轴恒有n个共点的m次对称轴;同时,围绕m次对称轴恒有m个共点的n次对称轴,且任意两个m次对称轴与n次对称轴间的交角均等于原始的m次对称轴与n次对称轴之间的交角。

欧拉定理是最基本的对称元素组合定理,其它所有的对称元素组合定理均可由欧拉定理派生出来。欧拉定理不仅适合于对称轴,而且也适合于旋转反伸轴(包括Li1=C,Li=P)。2

定理二:两个二次轴(L2)相交,如交角为360/2n,则过该两二次轴交点并与其o所在平面垂直的直线恒为一n次对称轴。推理:如有一个二次对称轴与一个n次对称轴垂直(相交),则必有n个二次对称轴同时垂直(并相交)于该n次对称轴。

定理三:二对称面的交线恒为一对称轴,其基转角为该二对称面之交角的2倍。推理:如有一个对称面包含一n次对称轴,则必有n个对称面同时包含该n次轴,且相邻二对称面之交角为该n次轴基转角的一半。

定理四:通过二次对称轴与对称面之交点并垂直于该二次对称轴之直线恒为一旋转反伸轴,该旋转反伸轴之基转角等于该二次轴与对称面交角之余角的两倍。

推理:如有一二次轴垂直于(或对称面包含)一n次旋转反伸轴时,当n为奇数时,恒有n个共点的二次轴垂直于此n次旋转反伸轴,同时还有n个共线的对称面包含该n次旋转反伸轴;当n为偶数时,则恒有n/2个共点的二次轴垂直于该n次旋转反伸轴,同时还有n/2个共线的对称面包含该n次旋转反伸轴。

定理五:如有一偶次对称轴垂直于一个对称面,则其交点恒为一对称中心。推理一:偶次对称轴、垂直于它的对称面和对称中心中,任意二者的组合必产生第三者。推理二:当有对称中心存在时,偶次对称轴的个数之和必等于对称面的个数之和,且每一个偶次轴均垂直于一个对称面。

32个点群就数学上的意义而言,任何空间对称变换即构成了所谓“群“。通常把对称变换的集合和对称元素的集合总称为对称群。把相交于一点的宏观对称元素的集合所构成的对称群,称为点群。

根据上述定理和推理,晶体中的宏观对称元素只可能有32种组合方式,称为32种对称类型或32个点群。32个点群亦可用群论的方法推导出来。下面看一下32个点群的简单推导过程。

32种点群的极射赤平投影

32种点群中对称元素的空间分布和相互关系

1.对称轴的组合(轴式):前面提到有8种可以独立存在的宏观对称元素,它们是L1,L2,L3,L4,L6,Li4和P,C,其相应点群的国L1际符2号3分别4为61,2,34,4,6,4,m和1。,L,L,L,L和Li2称为原始轴式。当在这6种对称轴(或旋转反伸轴)上垂直加入一个L,根据对称元素组合定理二之推理,可以得到:

L2·L1L2〔2〕(其中·代表组合作用)L⊥L⊥L⊥L⊥2222·L·L·L·L23463L〔222〕2LLL3463L4L6L222〔32〕〔422〕〔622〕方括号中的符号是相应点群的国际符号。下标“⊥”表示L与另一对称轴垂直相交。2

根据组合定理四之推理,L⊥2L2P〔42m〕,由于该点群中含有对称面,所以把该点群归于下一组点群中。2·Li4Li42

习惯上把高于二次轴的对称轴或旋转反伸轴(简称反轴),如L,L,L,L346i4等称为高次复轴杂。一含些有,在一此个从以略上。高次轴的组合推导稍为

理论和实际情况均表明,含有多个高次轴的组合只能有以下两种,即3L4L3L4L6L,其相应的国际符号为23和这两种点群中包含的所有对称轴恰与四面体和立方体或八面体所含对称轴完全一样。

这一组点群中包括12个不重复的点群,即1,2,3,4,6,4,222,32,422,622,23,432(点群622,432也可记作62和43)。其中点群622,23,432中对称元素在空间排布及其极射赤平投影图分别如图3.13,3.14和3.15所示。

2.向上述12种轴式加对称面P,对称面只能有如下两种加法:(1)垂直于主轴加对称面,这样加上去的对称面称为水平的,用P表示。根据对H称元素组合定理:

P·L1P〔m〕,PC〔2/m〕,HP·L2L2H