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5.7定积分在物理中的应用6.2.1变力沿直线所做的功由物理学知道,如果物体在作直线运动的且这力的方向与物体的运动方向一致.那么,在如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,过程中有一个不变的力F作用在这物体上,物体移动了距离s时,力F对物体所做的功为就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想.
例1已知距离为r的两个电荷间的作用力的大小为放在r轴上坐标原点O处,它产生一个电场.把一个带+q电量的点电荷场力将单位正电荷从r=a移动到r=b处时,电场力对它所做的功.求电解功元素所求功为取r为积分变量,任取
解建立坐标系如图例2一圆柱形蓄水池高为5米,底半径3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需做多少功?取x为积分变量,这一薄层水的重力为功的元素为所求功为
6.2.2液体的静压力由物理学知道,在水深为h处的压强为如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强p不相等,平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想.这里是水的比重.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处,那么,平板一侧所受的水压力为
解建立坐标系.oxyC(0,5)D(20,3)直线CD的方程为压力元素例3某水库的闸门是等腰梯形,上底长为10m,好位于水平面上,求闸门所受的水压力.下底长为6m,高为20m,闸门与水面垂直,上底恰闸门所受的压力为
解取液面上的某点为坐标原点,建立坐标系.取x为积分变量,例4边长为a和b的矩形薄板对应薄板上的小矩形的长为a,的密度为求薄板的一侧所受的压力.置于液体中,长边平行于液面位于深h处,设液体与液面成角yOx宽为小矩形的面积为
小矩形一侧所受压力的元素为薄板所受压力为
相距为r的引力的方向沿着两质点间的连线方向.两质点间的引力大小为但是若要计算一根细棒对一个质点的引力,由于细棒上各点与该质点间的距离是变化的,简单的情况下,可以用定积分来计算.且各点对该质点的引力方向也是变化的,6.2.3引力由物理学可知,质量分别为用上述公式来计算.因此不能
解建立坐标系如图将典型小段近似看成质点,小段的质量为例5有一长度为l,线密度为r的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M,计算该棒对质点M的引力.取y为积分变量,取任
小段与质点的距离为引力的元素水平方向的分力元素由对称性知,引力在铅直方向分力为
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