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培优课05利用导数研究恒（能）成立问题
培优点一利用导数解决不等式的恒成立问题
典例1已知函数fx=ex+ax2?x.
解题观摩
[解析]由fx≥12x3+1得，
当x0时，
记gx
令?x
则?x=
则φx=ex
故函数?x单调递增，?x?0
故当x∈0,2时，
当x∈2,+∞时，g
故gxmax=g2
1.分离参数法解含参不等式恒成立的三个步骤
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式.
一般步骤：
第一步：分离参数（注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向）.
第二步：转化，若afx对x∈D恒成立，则只需af
第三步：求最值.
2.分类讨论法求含参不等式恒成立的思路
根据不等式恒成立求参数范围,一般是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，要证明不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意.
引入三角函数
1.已知函数fx=sinx?2ax,a∈R，若关于
[解析]不等式fx≤cos
即2a≥sin
设gx
则g
设?x
则?
因为当x∈π2,π时，
所以当x∈π2
所以函数?x在π2,π
所以当x∈π2,π时，
则函数gx在π2,π
所以当x∈π2,π时，
故实数a的取值范围是[2
分类讨论法解决含参不等式恒成立问题
2.[2023·全国甲卷]已知函数fx=ax?sinx
[解析]fx=a?
则fx=
则F
设φt=a
则φt=?4?
所以φt
若a∈(?∞,3],则Fx=φ
所以当a∈(?∞,3]
若a∈3,+∞,则当t→0
又φ1=a?3
即?x0∈(0,
当t∈t0,1时,φt
所以当x∈0,
综上,实数a的取值范围为(?∞,
培优点二利用导数解决不等式的能成立问题
典例2已知函数fx=2xlnx+
解题观摩
[解析]若存在x0∈[1e,e]，使得不等式f
所以只需a
设?
则?x=
当x
当x
又?1e=?2+
所以?
所以a≤?xmax
1.含参数的能成立（存在性）问题的解题方法
（1）a≥fx在x
（2）a≤fx在x
2.含全称量词、存在量词不等式能成立问题
（1）存在x1∈A，对任意x2∈
（2）任意x1∈A，存在x2∈
双变量能成立问题
[2024·广西模拟]已知函数fx
（1）讨论函数fx
[解析]函数fx的定义域为0
f
①当a0时，由fx0得
由fx0得0
②当a0时，由fx0得x?6a，即fx在?
（2）设gx=2x2?mex+e212
[解析]当a=?16e时，由（1）知，函数
所以fe≤fx≤
对任意x1∈[1,4
即等价为gx1≤e212+
设?x=2x2
所以?x在[1,
所以?xmax=
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