导数与函数的单调性讲义——2025届高三数学一轮复习.docxVIP

基础课17导数与函数的单调性

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

导数与函数单调性

掌握

2023年新高考Ⅰ卷T

2023年新高考Ⅱ卷T6、

2023年全国甲卷（理）T

2023年全国甲卷（文）T

2023年全国乙卷（理）T16、

2023年全国乙卷（文）T

2023年北京卷T

★★★

数学运算逻辑推理

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，导数与函数的单调性是高考常考内容，试题难度中等及以上.命题热点为含有参数的函数的单调性问题，涉及分类讨论的数学思想.预计2025年高考命题情况不变

函数的单调性与导数的关系

条件

恒有

结论

函数y=fx

f

fx在区间a,

f

fx在区间a,

f

fx在区间a,

1.若函数fx在a,b上单调递增，则当x∈a,b时，fx

2.若函数fx在a,b上存在单调递增区间，则当x∈a,b时，fx

3.研究函数的单调性，要坚持“定义域优先”原则.

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”，错的打“×”）

（1）若函数fx在a,b上单调递增，则一定有f

（2）如果函数fx在某个区间内恒有fx=0

（3）函数fx=x3?ax为

（4）函数fx=lnx

2.（易错题）设函数fx=ax?ax?2ln

【易错点】忽视函数的定义域致误.

[解析]由题意得函数fx的定义域为0,+∞.因为fx=a+ax2?2x，所以f2=a

题组2走进教材

3.（人教A版选修②P97·T2改编）函数fx=x3+

[解析]因为fx

所以f

令fx0,解得

故fx的单调递增区间为?∞,?2，

4.（人教A版选修②P87·例3改编）已知函数fx=13x3?

[解析]因为fx

所以fx=x2

所以x2?x?a

所以实数a的取值范围为(?∞,?1

题组3走向高考

5.[2023·新高考Ⅱ卷]已知函数fx=aex?ln

A.e2 B.e C.e?1

[解析]依题可知，fx=aex?1x≥0在1,2上恒成立，显然a0，所以xex≥1a在1,2上恒成立，设

考点一具体函数的单调性［自主练透］

1.函数fx=x

A.?∞,2 B.0,3 C.1

[解析]由题意得，f

当x2时，fx

故选A.

2.（多选题）已知函数fx与fx的部分图象如图所示，则g

A.在区间0,1上单调递增 B.在区间

C.在区间(1,43)上单调递减 D.在区间(

[解析]当x=0或x=2时，fx=0，则函数g

gx=ex[fx?fx][fx]2，由题图易得当x∈0,1时，fxfx

3.[2023·北京卷改编]函数gx=1?3

[解析]因为gx=1

令gx0，解得

所以gx的单调递减区间为0,3

4.[2023·全国甲卷改编]已知定义在区间,0,π2上的函数fx=

[解析]f

令cos2x=t,则

当t∈12,1,即x∈0

求函数单调区间的步骤

1.确定函数fx

2.求f

3.在定义域内解不等式fx0，得函数fx

4.书写相同类型单调区间之间用“逗号”或“和”隔开，切记不可用“∪”.

考点二含参函数的单调性讨论［师生共研］

典例1[2023·新高考Ⅰ卷节选]已知函数fx=a

[解析]因为fx=a

所以f

当a≤0时，由于ex0

所以fx在R

当a0时，令f

当x?lna时，fx

当x?lna时，fx

综上，当a≤0时，fx

当a0时，fx在?∞,?ln

1.研究含参数的函数的单调性，要考虑参数对不等式解集的影响，并进行分类讨论.

2.在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.

3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如fx=x3，fx=

已知函数fx=x22

[解析]fx=x22?

当a≤0时，fx

当a0时，

①当x∈0,a时，f

②当x∈a,+∞时，fx

综上所述，当a≤0时，fx

当a0时，函数fx的单调递减区间为0

考点三导数与函数单调性的应用［多维探究］

比较大小

典例2[2024·福建模拟]已知函数fx=sinx?xcosx，若a=flog2

A.bac B.ab

[解析]fx=cosx?cosx+x

因为ln2ln3ln2+ln322=ln

利用导数比较大小的方法

1.若已知函数的解析式，则首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小.

2.若函数的解析式未知，则需要利用题目条件构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.

解不等式

典例3已知函数fx=?xln

A.?4,2

C.?∞,?2∪2

[解析]fx的定义域为R

因为fx=?ln2

所以不等式f3?x2f2x

所以不等式f3?x

故选D.

利用导数解不等式的方法

利用导数解不等式的