精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料).docx

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初中数学竞赛专题讲解最短路径问题

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【问题1】作法图形原理

【问题1】

作法

图形

原理

A

A

l

P

l

两点之间线段最短．

B

连AB，与l交点即为P．

B

在直线l上求一点P，使 PA+PB最小值为AB．

PA+PB值最小．

【问题2】“将军饮马”

作法

图形

原理

A

A

B

l

作B关于l的对称点B＇

B

两点之间线段最短．

P

l

在直线l上求一点P，使

连AB＇，与l交点即为P．

B

PA+PB最小值为AB＇．

PA+PB值最小．

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【问题3】 作法 图形 原理

l1

分别作点P关于两直线

P

P

l1

l

M

两点之间线段最短．

2l 的对称点P＇和P＇，连P＇ P PM+MN+PN的最小值

2

、 上分别求

、 上分别求点l l

1 2 P＇，与两直线交点即为

N l2

P 为

M、N，使△PMN的周长最小．

M，N．

线段P＇P＇的长．

【问题4】 作法 图形 原理

l1

Q 分别作点Q、P关于直

P

Q l1

M Q

两点之间线段最短．

2在直线l、l

2

l2

上分别求点

线l1、l

的对称点Q＇和

P

N l2

四边形PQMN周长的最

1 2 P＇连Q＇P＇，与两直线交点 P

M、N，使四边形PQMN

的周长最小．

【问题5】“造桥选址”

即为M，N．

作法

小值为线段P＇P＇的长．

图形 原理

A

M m

n将点A向下平移MN的

n

N

B

长度单位得A＇，连A＇B，

A

A M

N

两点之间线段最短．

m

n AM+MN+BN的最小值

直线m∥n，在m、n，上

分别求点M、N，使MN

⊥m，且AM+MN+BN的值最小．

交n于点N，过N作NM

⊥m于M．

B

为

A＇B+MN．

【问题6】 作法 图形 原理

A

B

l

MaN

将点A向右平移a个长 A A

B

l

可编辑 M N

两点之间线段最短．

A

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在直线l上求两点M、N（M在左），使MN?a，并使

度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇，连A＇B，

AM+MN+BN的最小值为

AM+MN+NB的值最小．

交直线l于点N，将N点 A＇B+MN．

向左平移a个单位得M．

【问题7】 作法 图形 原理

l l

1 1

P

P 作点P关于l的对称点 P

1 A

l

2

点到直线，垂线段最短．

12在l上求点A，在l

1

2

上求点

P＇，作P＇B⊥l

2

于A．

于B，交l

2B

2

l PA+AB的最小值为线段

2

P＇B的长．

B，使PA+AB值最小．

【问题8】 作法 图形 原理

l

1

N

A

l

M B 2

作点A关于

B

l

1

l2的对称点

A N

两点之间线段最短．

1 2A为l上一定点，B为l

1 2

A＇，作点B关于l1的对 M B l2

A

AM+MN+NB的最小值

一定点，在l

2

上求点M，

称点B＇，连A＇B＇交l

于2

于

1为线段A＇B＇的长．

1

1在l 上求点 N，使

1

AM+MN+NB的值最小．

M，交l 于N．

【问题9】 作法

A A

B 连AB，作AB的中垂线

l

图形 原理

垂直平分上的点到线段两

lB 端点的距离相等．

l

在直线l上求一点P，使

PA?PB的值最小．

与直线l的交点即为