利用导数研究函数的零点讲义——2025届高三数学一轮复习.docxVIP

培优课06利用导数研究函数的零点

培优点一利用导数确定函数零点个数

典例1设函数fx=lnx+mx,m∈R，讨论函数

解题观摩

[解析]由题意得fx=

令g

设hx=-

当x

当x

所以h

又h0=0

所以①当

②当

③当

④当

综上所述，当m23时，函数gx无零点；当m=23或m

利用导数研究函数零点（方程根）的一般方法

1.通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,进而研究函数零点的情况；

2.根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置；

3.数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.

由判断零点个数变为证明零点个数

已知函数fx

（1）讨论函数fx的单调性

[解析]根据题意得，fx=

当a≤0时，fx

当a0时，令f

令fx

所以fx在0,2a

故当a≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当a0时，

（2）设gx=[fx]

[解析]当a=2时，fx=x

所以当x∈0,1时，fx0，fx单调递减；当x

又当x→0时，fx→+∞，当

所以fx

gx=[fx

令hm=m2-m-2ln

因此当m∈1,1+

当m∈1+174

由于h1=0，故h

由函数零点存在定理，得存在m0∈(1+17

所以hm有两个零点m0和m1=1，即方程f

作出fx

当fx=1

所以方程fx=1

当fx=m

因为1+

所以由fx图象可知，fx=m0有两个不同的根x

综上，当a=2时，函数

培优点二根据函数零点个数求参数的取值范围

典例2已知函数fx=ax-1x-a+1lnx

解题观摩

[解析]由题意得，f

①当a≤0时，ax-1≤

当0x1时，fx0，当x

故f

②当a0时，令fx=

当0a1时，1a1，可得fx在0,1,(1

极小值为f

当a1时，01a1，可得f

在1a

故fx的极小值为f

极大值为f

当a=1时，

所以f

且f1=0

综上可知，实数a的取值范围为0,+∞

利用函数的零点求参数的取值范围的方法

1.分离参数a=gx后，将原问题转化为y=gx

2.利用函数零点存在定理构建不等式求解.

3.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

求参数范围变为求参数的值

已知函数fx=x+2e

（1）若a=-3，求

[解析]当a=-3时，fx=x+2ex+x

当x≤-3时，x+3ex≤

当x-3时，x+4ex0，hx0，hx单调递增.又h0=0，所以当

综上，fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故f

（2）若函数gx=fx

[解析]已知gx=f

当x→-∞时，gx→+∞；当x

因为函数gx=fx-2cosx恰有一个零点，且g0=0，所以0是函数gx的唯一零点，可得gx

所以x+4ex+2+2cosx0在-4,+∞恒成立，则函数kx在-4,+∞上单调递增，即函数gx在-4,+∞上单调递增，又g0=3+

故当x∈0,α时，gx

故gx在0,+∞上存在一个零点，则此时函数gx

当3+a0时，可得

所以在区间-4,0上存在一点β

故在β,0上，gx

故gx在β,0

故当x∈β,0时，gx

故此时函数gx在-∞,

又因为0是函数gx

当3+a=0时，即a=-3时，由（1）知，当

当x≠0时，因为

综上，满足条件的a值为-3