（2024年高考真题）2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷 北京卷（含解析）.docVIP

2024年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

数学试卷

养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合，，则()

A. B. C. D.

2．若复数z满足，则()

A. B. C. D.

3．圆的圆心到直线的距离为()

A. B.2 C.3 D.

4．在的展开式中，的系数为()

A.6 B.-6 C.12 D.-12

5．设a，b是向量，则“”是“或”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6．设函数.已知，，且的最小值为，则()

A.1 B.2 C.3 D.4

7．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()

A. B. C. D.

8．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为()

A.1 B.2 C. D.

9．已知，是函数的图象上两个不同的点，则()

A. B.

C. D.

10．已知是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则()

A.， B.， C.， D.，

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．抛物线的焦点坐标为__________.

12．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为__________.

13．若直线与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为__________.

14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，，，且斛量器的高为，则斗量器的高为__________，升量器的高为__________mm.（不计量器的厚度）

15.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列四个结论：

①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是_________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为钝角，，.

（1）求；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

17．如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，.

（1）若F为线段PE的中点，求证：平面PCD；

（2）若平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

18．某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

索赔次数

0

1

2

3

4

保单份数

800

100

60

30

10

假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元

假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差

（ⅰ）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；

（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（ⅰ）中EX估计值的大小.（结论不要求证明）

19．已知椭圆，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

（1）求椭圆E的方程及离心率；

（2）若直线BD的斜率为0，求t的值.

20．设函数，直线l是曲线在点处的切线.

（1）