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Z变换习题
Determine theone-sideZ-transforms ofthefollowingsequences:
(1) f(n)?{...,0,3,2,1,5} f(0)?2;
(2) f(n)?(?1)n?n?u(n);
(3) f(n)?
Solution:
?n
i?0
(?1)n.
(1) F(z)???
f(n)z?n?2?z?1?5z?2
n?0
(2) u(n)?
z ?nu(n)??z d [
z ]? z
? (?1)n
z?1 dz z?1 (z?1)2
z z
nu(n)? ?
? F(z)?
z
(z?1)2
(?z?1)2
(z?1)2
z ?z z
(3) u(t)? ? (?1)nu(n)? ?
z?1 ?z?1 z?1
?n ?n ??
? (?1)i ? (?1)iu(i)? (?1)iu(i)u(n?i)
i?0 i??? i???
?[(?1)nu(n)]?[u(n)]
? F(z)?
z ? z ? z2
|z|?1
z?1 z?1 z2?1
TodeteminetheinverseZ-transformsofthefollowingfunctions:
(1) F(z)?
(2) F(z)?
z2
(z?1)(z?2)
z2?z
1?|z|?2
|z|?1
(3) F(z)?
(z?1)(z2
z
(z?1)(z2
?z?1)
?1)
|z|?1
Solution:
F(z) z 1 2
(1) ? ? 3 ? 3
z (z?1)(z?2) z?1 z?2
?F(z)?1 z ?2 z
3z?1 3 z?2
1 2? f(n)? (?1)nu(n)? 2nu(?n?1)
1 2
3 3
Notice:
1?|z|?2?f(n)isadoublesidessequence.
1?|z|?
z ?z
? ?(?1)nu(n)
z?1 ?z?1
isarightsidesequence.
z z2
isaleftsidesequence.
|z|?2? ?? ??(2)nu(?n?1)
z?2 1?z
(2)?
2
F(z) ?
z?1
z (z?1)(z2 ? z?1)
2z?(1j3)3z?
2
z?(
1
j
3)
3
z?(
1
j
3)
k
k
k
z?1
where :
2 2 2 2
?....?2?....??
?
....
?
2
?
....
?
?1
?
k?
2
?
?1
k? 1
k
?
? F(z)?
? 2
k?
k
3
z?( ?j13)z?
z?( ?j
1
3)
z?( ?j
1
3)
2 2 2 2
33?? 1 ? j ? ej , 1 ? j ? e
3
3
?
3
j?
3
2 2 2 2
? ?
? f(n) ? 2u(n)?ej3nu(n)?e?j3nu(n)
? 2u(n)?cos(
?
n)u(n)
3
?[2?cos(
?
n)]u(n)
3
(3)
F(z) ? 1 1 ??1
z z?1 z2?1 (z?1)(z?1)2
kkk? 1 ? 21 ? 22
k
k
k
z?1 (z?1)2 z?1
F(z)??k ?(z?1) ?
F(z)
?
? 1 z
?
z??1 4
F(
F(z)
z
where :
?k ?(z?1)2 ?
? 21 z?1 2
??
??
k
22
? d [(z?1)2
dz
F(z)]
z
z?1
??1
4
? F(z)? 1( z )?1[ z ]?1( z ) |z|?1
4 z?1 2 (z?1
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