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专题3.4双曲线的简单几何性质
知识点一双曲线的几何性质
标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
性质
焦点
焦距
范围
,或
或
对称性
关于坐标轴、原点对称
顶点
轴长
实轴长2a,虚轴长2b
离心率
渐近线
知识点二等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质:
(1)方程形式为;
(2)渐近线方程为,它们互相垂直;
(3)离心率
重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴
1.已知是双曲线的两个焦点,若双曲线的左?右顶点和原点把线段四等分,则该双曲线的焦距为(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【分析】根据题意列出方程组进行求解即可.
【详解】因为是双曲线的两个焦点,若双曲线的左?右顶点和原点把线段四等分,
所以,即,即,
又因为,
解得,所以c=2,
所以该双曲线的焦距为.
故选:D
2.双曲线的实轴长是虚轴长的3倍,则m的值为(????)
A.9 B.-9 C. D.
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程,求得,结合题意,列出方程,即可求解.
【详解】由双曲线,可得,且,
因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍,可得,即,解得.
故选:C.
3.已知双曲线:的左顶点为,右焦点为,焦距为6,点在双曲线上,且,,则双曲线的实轴长为(????)
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】A
【分析】运用代入法,结合已知等式进行求解即可.
【详解】把代入中,得,即,
因为,,
所以,
又,所以,解得,舍去,则.
故选:A
4.如图,这是一个落地青花瓷,其外形被称为单叶双曲面,可以看成是双曲线C:的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8,瓶高等于双曲线C的虚轴长,则该花瓶的瓶口直径为(????)
??
A. B.24 C.32 D.
【答案】D
【分析】求出,设出,代入双曲线方程,求出,得到直径.
【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8,所以.
设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点,该花瓶的瓶口半径为r,则,
????
所以,解得,故该花瓶的瓶口直径为.
故选:D
5.若实数m满足,则曲线与曲线的(????)
A.离心率相等 B.焦距相等 C.实轴长相等 D.虚轴长相等
【答案】B
【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.
【详解】因为,所以,
所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线,
,
所以两曲线的焦点和焦距都相同,故B正确;
因为,所以离心率不相等,故A错误;
因为,所以实轴长不相等,故C错误;
因为,所以虚轴长不相等,故D错误.
故选:B.
6.等轴双曲线的焦距为.
【答案】
【分析】根据等轴双曲线定义得到,进而求出,得到焦距.
【详解】由题意得,,故,故,焦距为.
故答案为:
7.已知椭圆的左、右焦点分别为,,是上任意一点,的面积的最大值为,的焦距为2,则双曲线的实轴长为.
【答案】4
【分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解,进而可求解.
【详解】由于的面积为,
由题意知所以
故双曲线的方程为,则的实轴长为4.
故答案为:4
??
重难点2已知方程求双曲线的渐近线
8.双曲线的渐近线方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.
【详解】由题意可得:双曲线渐近线斜率为,
则其渐近线方程为:.
故选:C
9.已知双曲线的离心率为,若点与点都在双曲线上,则该双曲线的渐近线方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,列出方程组,结合离心率的意义求出作答.
【详解】由点在双曲线上,得,
则,即,整理得,解得或,
当时,,此时方程无解,
当时,,而,解得,
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选:B
10.双曲线的两条渐近线的夹角为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程,进而求得其夹角.
【详解】由双曲线,可得,
所以双曲线的渐近线的方程为,
所以两渐近线的夹角为.
故选:C.
11.在平面直角坐标系中,双曲线的渐近线方程为(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】化简双曲线的方程为标准方程,求得的值,结合双曲线的几何性质,即可求解.
【详解】由双曲线,可得其标准方程为,所以,
则双曲线的渐近线方程为.
故选:B.
12.已知双曲线的一个焦点是,点到的渐近线的距离为,则(????)
A.与有关 B.与无关 C.与有关 D.与无关
【答案】BC
【分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标,再利用点到直线距离即可求出,便可得出结论.
【详解】设双曲线的焦距为,不妨取右焦点的坐标为,如下图所示:
??
双曲线的渐近线方程是,即0,
所以,
所以与无关,与有关.
故选:BC.
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