广东省惠州市博罗县2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（含答案）.doc

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广东省惠州市博罗县2023-2024学年

高一下学期5月期中考试数学试题

一、单项选择题：木题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则（）

A． B． C．2 D．4

2．（5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的（）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

3．（5分）在△ABC中，，则A＝（）

A．30° B．45° C．120° D．150°

4．（5分）设，是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（）

A． B． C． D．

5．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（）

A． B． C． D．

6．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝sinx图象的最高点，Q是y＝sinx的图象与x轴的交点，则的坐标是（）

A． B．（π，0） C．（﹣π，0） D．（2π，0）

7．（5分）已知轴截面为正方形的圆柱MM′的体积与球O的体积之比为，则圆柱MM′的表面积与球O的表面积之比为（）

A．1 B． C．2 D．

8．（5分）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60m到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是（）

A．50m B．30m C．25m D．15m

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分

（多选）9．（6分）设z＝1﹣i，则（）

A． B． C． D．

（多选）10．（6分）已知直线l，m，平面α，β，则下列说法错误的是（）

A．m∥l，l∥α，则m∥α

B．l∥β，m∥β，l?α，m?α，则α∥β

C．l∥m，l?α，m?β，则α∥β

D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M，则α∥β

（多选）11．（6分）下列说法中错误的是（）

A．若，都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件

B．若，都是非零向量，且，则

C．若单位向量，，满足，则

D．若I为三角形ABC外心，且，则B为三角形ABC的垂心

三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12．（5分）若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为．

13．（5分）已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为．

14．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15．（13分）已知向量，，．

（1）若，，求λ+μ的值；

（2）若，求与的夹角的余弦值．

16．（15分）如图所示，在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，，求；

（1）正四棱锥S﹣ABCD的表面积；

（2）若M为SA的中点，求证：SC∥平面BMD．

17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）求的最大值．

18．（17分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．

（1）用和表示；

（2）求；

（3）设，求xy的取值范围．

19．（17分）设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f（x+yi）＝x1+y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位），就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）．例如：将点（0，1）“f对应”到点（0，﹣1）．

（1）若f（z）＝z+1（z∈C），点P1（1，1）“f对应”到点Q1，点P2“对应”到点Q2（1，1），求点Q1、P2的坐标．

（2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx+t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k，t）；若不存在，请说明理由．

（3）设常数a，b∈R，集合D{z|z∈C且Rez＞0}和A＝{w|w∈C且|w|＜1}，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意