微专题09 巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 （三大题型）（解析版）.docxVIP

微专题09巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题

【题型归纳目录】

题型一：单模长最值问题

题型二：多模长之和差最值问题

题型三：模长的范围问题

【方法技巧与总结】

求复数模的范围与最值问题是热点问题，其解题策略是：

（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；

（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

（3）利用三角函数解决.

【典型例题】

题型一：单模长最值问题

【典例1-1】（2024·高一·江苏苏州·期末）设是虚数单位，若复数，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．9

【答案】A

【解析】因为，

所以=，

当时，.

故选：A.

【典例1-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为．

【答案】

【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，

又的几何意义是表示复数对应的点与点之间的距离，

其最小值为原点到点之间的距离减去圆的半径，

故的最小值为.

故答案为：.

【变式1-1】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知复数满足，则的最小值是.

【答案】

【解析】因为，则

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故答案为：.

【变式1-2】（2024·高一·全国·单元测试）已知，求的最大值和最小值分别为.

【答案】，

【解析】设，则，

所以，又，

所以，即，

可知复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则，；

所以的最大值和最小值分别为，.

故答案为：，.

【变式1-3】（2024·高一·全国·单元测试）若|，则的最小值为.

【答案】1

【解析】设，则.

所以，即，所以，

所以，

故当时，的最小值为1.

故答案为：1.

题型二：多模长之和差最值问题

【典例2-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）已知复数，其中.则的最小值为.

【答案】

【解析】在图中作出复数，和的位置，分别为点,

令复数所在复平面上的点为，

易得，所以四边形为平行四边形，

因为，所以四边形为菱形，

，，所以复数所表示的点在线段上（包括端点），

因为四边形为菱形，

所以垂直平分，所以有.

于是由三角不等式，，

当且仅当，即时等号成立，

此时.

故答案为：4.

【典例2-2】（2024·浙江·高一嘉兴一中校联考）已知复数满足，求的最小值______．

【答案】13

【解析】因为复数满足，

所以，

所以，

所以，

解得，所以，

所以

，

则上式表示复平面上的点到点的距离和，

因为关于实轴的对称点为，

所以

因为，当三点共线时取等号，

所以的最小值为13，

即的最小值为13，

故答案为：13

【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的最小值为_________.

【答案】

【解析】设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和；

显然当，即时，

故答案为：

【变式2-2】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.

依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.

此时.

故选：B.

题型三：模长的范围问题

【典例3-1】（2024·全国·高一专题练习）若，则取值范围是___．

【答案】

【解析】由题意设(),则

其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差，

由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小，

则．

的取值范围是．

故答案为：．

【典例3-2】（2024·高一课时练习）已知复数满足，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】复数满足，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，

则的表示圆上的点到和的距离，

由图象可知，

当点在处最小，最小为:，

当点在处最大，最大为，

则的取值范围是，

故答案为：

【变式3-1】（2024·浙江宁波·高一效实中学校考）已知复数，其中为虚数单位.

(1)当，且是纯虚数，求的值；

(2)当时，求的取值范围.

【解析】(1)是纯虚数，故有

，

经计算有，;

(2),所以有，如下图，根据几何意义，可知

.

【变式3-2】（2024·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试