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2024年中考数学压轴题解题思路--坐标系中的辅助线
(1)辅助线:向坐标轴作垂线,坐标轴中的直角是解题的关键:
(2)证明构造出的直角三角形相似或全等;
(3)三角形相似或全等,则利用边成比例求解,全等则对应边相等.往往是和坐标轴垂直的边.如
图:
或者以下思路
(1)设点的坐标:用未知数表示点的坐标(注意从较小的点开始比较容易);
(2)将题目中需要的条件(如三角形的边)用含未知数的代数式表示;
(3)列方程.根据已知条件,将点的坐标代入解析式
注:这些思路不是完全固定不变的,同学们应该根据题目条件灵活组合运用.另外,这里总结出
此类求最值题目常规思路:
设点的坐标(或者说设未知数)→根据题目条件列式得出二次函数(或者代入函数解析式)→根据
二次函数性质求最值.
典例
【典型题1】★★★如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,C分别在x轴,y轴的正
半轴上,点D(-2,3),AD=5,若反比例函数的图象经过点B,则k的值为().
A.
B.8
C.10
D.
【思路分析】向坐标轴作垂线—证明构造出的直角三角形全等或相似一三角形相似,利用边成
比例求解.
如解析图示,过D作DE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴,BH⊥y轴.先证△ADE≌△BCH(AAS),再证△APO∽△BAF.“△APO∽△BAF.根据对应边成比例,求出BF,得出B的坐标,带入反比例函数解析式
得出答案.
【答案解析】解:如图,过D作DE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴,BH⊥γ轴,
.
.
∴DE=3,∴AE=√AD2-DE2=4,
./BCD=∠ADC=90°
”∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°,∠CPD=∠AP0,
.∠DCP=∠DAE,∴∠CBH=∠DAE,
.∠AED=∠BHC=90°
∴BH=AE=4,
.OE=2,∴0A=2,∴AF=2,
·∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°
1
::k=兰故选D.
【典型题2】★★★如图,在平面直角坐标系中,已知A(-3,-2),B(0,-2),C(-3,0),M是线段AB
上的一个动点,连接
大值是()
8
C.-1
D.0
CM,过点M作MN⊥MC交y轴于点N,若点M、N在直线y=kx+b上,则b的最
【思路分析】向坐标轴作垂线→证明构造出的直角三角形相似——利用边成比例求解→设未知
数→列式得出二次函数→根据二次函数性质求最值
如解析图示,连接AC.证明△AMC∽△NBM.根据对应边成比例,得出
【答案解析】解:如图,连接AC,则四边形ABOC是矩形,
.
.
∴∠A=∠ABO=90°
又*MN⊥MC,∴∠CMN=90°
.AMC~NBM,∴
设BN=y,AM=x.则MB=3-x,
0N=2-y,
最大值.故选A.
注:“设未知数→列式得出二次函数→根据二次函数性质求最值”是常规解题步骤,同学们一
【典型题3】★★★如图,点D是口OABC内一点,CD与x轴平行,BD与y轴平行,BD=√2,∠ADB
=135°,S△ABD=2.若反比例函数的图象经过A、D两点,则k的值是().
A.2√2
B.4
C.3γ2
D.6
【思路分析】作辅助线.作AM⊥y轴于M,延长BD,交AM于E,设BC与y轴的交点为N.证明△
AOM≌△CBD,得到OM=BD,用代数式表示出A、D点的坐标→根据反比例函数解析列式求解.
【答案解析】如图,作AM⊥y轴于M,延长BD,交AM于E,设BC与y轴的交点为N,
··四边形OABC是平行四边形,
∴0A//BC,OA=BC,∴∠AOM=∠CNM.
∵BD//y轴,∴∠CBD=∠CNM,
∴∠AOM=∠CBD,
∵CD与x轴平行,BD与y轴平行,
∴∠CDB=90°,BE⊥AM,
∴∠CDB=∠AMO,
∴△AOM≌△CBD(AAS),
∴OM=BD=√2,易得AF=√2,
BD=√2.∴AE=2√2.
∵∠ADB=135°,∴∠ADE=45°
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE=AE=2√2∴D的纵坐标为3√2设A(m,√2),则D(m-2√23√2)
∵反比例函(x)0)的图象经过
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