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压轴题(解答题一)
1.一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径,半圆O上点C处有个吊灯EF,EF//AB,CO⊥AB,EF的中点为
D.OA=4.
图①图②图③
(1)如图①,CM为一条拉线,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度
(2)如图②,一个玻璃镜与圆O相切,H为切点,M为OB上一点,MH为入射光线,NH为反射光线,
∠OHM=∠OHN=45°,求ON的长度.
(3)如图③,M是线段OB上的动点,MH为入射光线,∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从
O运动到B的过程中,求N点的运动路径长.
【答案】(1)2
【分析】(1)由DF=0.8,0M=1.6,DF//OB,可得出DF为VCOM的中位线,可得出D为CO中点,即可
得出CD的长度;
(2)过N点作ND⊥OH,交OH于点D,可得出△NHD为等腰直角三角形,根据可得出
设ND=3x=DH,则OD=4x,根据OD+DH=OH,即可求得再根据勾股定理即可得出答案;
(3)依题意得出点N路径长为:OB+,推导得出∠BOT=80°,即可计算给出,即可得出答案.
【详解】(1)∵DF=0.8,0M=1.6,DF//OB
∴DF为VCOM的中位线
∴D为CO的中点
∵CO=AO=4
∴CD=2
(2)过N点作ND⊥OH,交OH于点D,
··●
··
●
∵∠OHN=45°,
∴△NHD为等腰直角三角形,即ND=DH,
∴ND:OD=3:4,
设ND=3x=DH,
∵OD+DH=OH,
∴3x+4x=4,
则OD=4x,
解得
∴在Rt△NOD
中,
(3)如图,当点M与点O重合时,点N也与点O重合.当点M运动至点A时,点N运动至点T,故点
N路径长为:OB+
∵∠NHO=∠MHO,∠THO=∠MHO,∠HOM=50°.
∴∠OHA=∠OAH=65°.
∴∠THO=65°,∠TOH=50°.
∴∠BOT=80°,
OB+
OB+
故答案为:
【点睛】本题考查了圆的性质,弧长公式、勾股定理、中位线,利用锐角三角函数值解三角函数,掌握以
上知识,并能灵活运用是解题的关键.
∴N点的运动路径长为:
2.如图,AB为OO的弦,D,C为ACB的三等分点,AC//BE.
(1)求证:∠A=∠E;
(2)若BC=3,BE=5,求CE的长.
【答案】(1)见解析:(2)
【分析】(1)根据题意,连接AD,通过证明AB//CE,再由ACI/BE可证四边形ACEB为平行四边形,进
而即可得到∠A=∠E;
(2)根据平行四边形ACEB的性质及D,C为ACB的三等分点可证△CBD∽△BED,得到进
而求得即可得到CE的长
【详解】(1)如图连接AD,
∵A、D、C、B四点共圆
∴∠BAD+∠BCD=180°
又∠BCD+∠BCE=180°
∴∠BAD=∠BCE
∵D,C为ACB的三等分点
∴BD=AC
∴∠BAD=∠ABC
∴∠ABC=∠BCE
∴AB//CE,又ACI/BE
∴四边形ACEB为平行四边形
∴∠BAC=∠E即原题中∠A=∠E;
(2)∵四边形ACEB为平行四边形,BE=5
∴BE=AC=5
∵D,C为ACB的三等分点,BC=3
∴BC=CD=AD,BD=AC
∴CD=BC=3,BD=AC=5,
∵∠BAC=∠E
∠CDB=∠CBD=∠BAC
∴△CBD∽△BED
∴BC=AD=BE=5
∴,即
∴
【点睛】本题主要考查了圆中综合知识、平行四边形的性质及判定及三角形相似的判定及性质,熟练掌握
相关几何综合运用知识是解决本题的关键
3.如图,AB为⊙O的直径,点C在QO上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交
AD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【答案】(1)见解析;(2)
·
【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB=∠E,即可推出∠ABE=∠E,AE=AB.
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似
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