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压轴题(解答题三)
1.(1)【探究发现】如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE翻折到△BEF处,
延长EF交CD边于G点.求证:△BFG≌△BCG
G
图①
(2)【类比迁移】如图②,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且AD=8,AB=6,将△AEB沿BE翻折到
△BEF处,延长EF交BC边于点G,延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长.
H
图②
(3)【拓展应用】如图③,在菱形ABCD中,AB=6,E为CD边上的三等分点,∠D=60°,将VADE沿AE
翻折得到△AFE,直线EF交BC于点P,求CP的长.
备用1备用2
2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=6,连接BD.
(1)求BD的长;
(2)点E为线段BD上一动点(不与点B,D重合),点F在边AD上,且BE=√3DF;
①当CE⊥AB时,求四边形ABEF的面积;
②当四边形ABEF的面积取得最小值时,CE+√3CF的值是否也最小?如果是,求CE+√3CF的最小值;如
果不是,请说明理由.
3.在正方形ABCD中,等腰直角△AEF,∠AFE=90°,连接CE,H为CE中点,连接BH、BF、HF,
发现和∠HBF为定值.
图1
(1)
②/HBF=;
口③小明为了证明①②,连接AC交BD于O,连接OH,证明了的关系,请你按他的思路证明①
口
②.
(2)小明又用三个相似三角形(两个大三角形全等)摆出如图2,,∠BDA=∠EAF=0
(O?090°)求:
(用k的代数式表示)
(用k、θ的代数式表示)
4.背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按背景图位置摆放(点E,A,D在同一条直线上),
发现BE=DG且BE⊥DG.小组讨论后,提出了三个问题,请你帮助解答:
背景图
图1
图2
图3
(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转,(如图1)还能得到BE=DG吗?如果能,请给出证明.如
若不能,请说明理由:
(2)把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,(如
图2)试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由;
(3)把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD,且,AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕
点A按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组发现:在旋转过程中,BG2+DE2是定值,请求出这
个定值.
5.阅读短文,解决问题
如果一个三角形和一个菱形满足条件:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”如图1,菱形AEFD为△ABC的“亲密
菱形”.
如图2,在△ABC中,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心,的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交BC于点F,过点F作FD//AC,FE//AB.
(1)求证:四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”;
(2)当AB=6,AC=12,∠BAC=45°时,求菱形AEFD的面积.
跟踪训练
跟踪训练
1.(统考二模)【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题:
已知:如图1,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
图2
【解答】某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法:
如图2,过点F作FG⊥AD
FG=FM,FH=FM.
∴FG=FH
∵FG⊥AD,FH⊥AE,
∴F在∠DAE的平分结上.
图3
于点G,作FH⊥AE于点H,作FM⊥BC于点M,由角平分线的性质定理可得:
图4
【探究】
(1)小方在研究小明的解题过程时,还发现图2中BG、BC和CH三条线段存在一定的数量关系,请你直接写
出它们的数量关系:
(2)小明也发现∠BFC和∠GFH之间存在一定的数量关系.请你直接写出它们的数量关系: (3)如图3,边长为3的正方形ABCD中,点E,F分别是边CD、BC上的点,且DE=1.连接AE,AF
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