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清单02三角函数的图象与性质
【考点题型一】三角函数图象
1、“五点法”画正弦函数的图象
五个关键点:,,,,
2、余弦函数图象的三种画法
(1)描点法:同正弦曲线的画法,通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象;
(2)五点法:在函数,的图象上,有5个关键点:,,,,,描出五个关键点后,用平滑的曲线连接,可得,的图象。
(3)平移法:根据诱导公式,可知的图象可由的图象向左平移个单位得到(如图所示)。
3、正切函数的图象
【例1】(22-23高一上·新疆·期末)用“五点法”作出函数,的大致图象,并写出使得的的取值范围.
【变式1-1】(23-24高一下·河南商丘·月考)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数,则下列图象中的大致图象正确的是(????)
A.B.C.D.
【变式1-2】(23-24高一下·北京房山·期中)已知是实数,则函数的图象不可能是(????)
A.?? B.??
C.?? D.??
【变式1-3】(23-24高一下·北京·期中)设a是实数,则函数的图象可能是(????)
A.B.C.D.
【考点题型二】求三角函数的定义域
正切函数的定义域为
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数图象来求解.
【注意】解三角不等式时要注意周期,且k∈Z不可以忽略.
【例2】(23-24高一下·陕西渭南·月考)求下列函数的定义域.
(1);
(2)
【变式2-1】(23-24高一下·辽宁大连·月考)函数的定义域是.
【变式2-2】(22-23高一下·广东佛山·月考)函数的定义域为(????)
A. B.
C. D.
【变式2-3】(22-23高一下·辽宁朝阳·月考)函数的定义域为(????)
A. B.
C. D.
【考点题型三】求三角函数的值域或最值
1、正(余)弦函数的值域或最值求法
(1)直接法:形如y=asinx+k或y=acosx+k的三角函数,直接利用sinx,cosx的值域求出;
(2)化一法:形如y=asinx+bcosx+k的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,确定ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值);
(3)换元法:
形如y=asin2x+bsinx+k的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值)
2、通常将正切函数当做整体,可利用换元法(令)将含有正弦函数的表达式简化,再结合基本初等函数的单调性求值域。三角函数值域的常见类型有:
(1)形如型:可利用正弦函数的有界性,注意对a正负的讨论
(2)形如型:可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
(3)形如,可先由定义域求得的范围,然后求得的范围,最后求得最值
(4)分式型:=1\*GB3①分离常数法:通过分离常数法进行变形,再结合三角函数有界性求值域;=2\*GB3②判别式法
【例3】(23-24高一下·上海·月考)函数的值域为.
【变式3-1】(23-24高一下·辽宁沈阳·月考)已知,则函数的值域为(????)
A. B. C. D.
【变式3-2】(23-24高一下·江苏宿迁·月考)已知函数,,则函数的值域是(?????)
A. B. C. D.
【变式3-3】(23-24高一下·江西·月考)函数,的值域为(????)
A. B. C. D.
【变式3-4】(23-24高一下·安徽蚌埠·月考)已知函数,,则其值域为.
【考点题型四】三角函数的奇偶性及应用
1、三角函数的图像与性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ+\f(π,2)))))
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,2),2kπ+\f(π,2)))
[2kπ-π,2kπ]
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,2),kπ+\f(π,2)))
递减区间
eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2),2kπ+\f(3π,2)))
[2kπ,2kπ+π]
无
对称中心
(kπ,0)
eq\b\lc\(\rc\)(\
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