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专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质
知识点一抛物线的定义
我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.
注意:
①“”是抛物线的焦点到准线的距离,所以的值永远大于0;
②只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式.
知识点二抛物线的标准方程及简单几何性质
标准方程
图象
性质
范围
对称轴
x轴
y轴
顶点
焦点
准线
离心率
知识点三通径与焦半径
1.通径
过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p.
2.焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为
标准方程
焦半径
重难点1抛物线定义及应用
1.已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1,则抛物线的标准方程为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求解.
【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相,因此,,抛物线方程为.
故选:C.
2.若抛物线()上一点到焦点的距离是,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用抛物线定义有,结合已知求即可.
【详解】设焦点为,则,解得.
??
故选:D
3.已知抛物线C:的顶点为O,经过点,且F为抛物线C的焦点,若,则p=(????)
A. B.1 C. D.2
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义结合可求得,然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.
【详解】因为点在抛物线上,,
所以,所以,
所以,所以,解得.
故选:C
??
4.已知抛物线:的焦点为,点在轴上,线段的延长线交于点,若,则.
【答案】4
【分析】做准线于点,轴于点可得,,再由抛物线定义可得答案.
【详解】如图,做准线于点,轴于点,所以,
因为,所以,所以,
解得.
故答案为:.
??
5.已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍,则.
【答案】4
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线焦点为,由于在抛物线上,故,
根据题意可得,
由抛物线定义可得,
故答案为:4
??
6.已知抛物线的焦点为F,直线与抛物线交于点M,且,则.
【答案】4
【分析】求出点M的坐标,利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程,即可求得答案.
【详解】把代入抛物线方程(),得,
得,根据抛物线的定义有,解得,
故答案为:4
重难点2抛物线的标准方程与焦点、准线
7.已知抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)为2,则抛物线的焦点坐标为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意结合抛物线方程可得,即可得抛物线的焦点坐标.
【详解】因为抛物线的焦点为,准线为,
由题意可知:焦准距,
所以抛物线的焦点坐标为.
故选:C.
8.圆的圆心在抛物线上,则该抛物线的焦点坐标为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由圆的方程得出圆心坐标,代入抛物线方程求得参数后可得焦点坐标.
【详解】圆的圆心坐标为,则,得,所以该抛物线的焦点坐标为.
故选:A.
9.在同一坐标系中,方程与的曲线大致是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】结合椭圆和抛物线的标准方程定义判断即可.
【详解】由,则方程表示焦点在轴上的椭圆,
方程化为,
由于,则方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线.
故选:A.
10.焦点坐标为的抛物线的标准方程是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.
【详解】焦点坐标为,则抛物线开口向左,焦点在轴上,
故抛物线的标准方程是.
故选:D
11.已知抛物线的焦点在轴上,且焦点到坐标原点的距离为1,则抛物线的标准方程为(????)
A. B.或
C. D.或
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.
【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或,
所以其对应标准方程为为或.
故选:D
12.抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线,则的准线方程为.
【答案】
【分析】把抛物线化为标准方程,可得焦点坐标和准线方程,由旋转方向和角度可求旋转后的焦点坐标和准线方程.
【详解】抛物线的标准方程为,其焦点为,准线方程为,
将抛物线绕其顶点顺时针旋转后得到抛物线,其焦点为,
故抛物线的准线方程为.
故答案为:.
13.已知两抛物线的顶点在原点,而焦点分别为,,求经过它们的交点的直线方程.
【答案】
【分析】根据抛物线的定义先求的两抛物线方程,联立求交点再求直线方程即可.
【详解】由题意两焦点分别为,可得两抛物线方程分别为:
,
联立方程可得或,
即两抛物线的交点为,
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