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专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)
目录
TOC\o1-2\h\u一、必备秘籍 1
二、典型题型 2
题型一:等差型 2
题型二:无理型 5
题型三:指数型 8
题型四:通项裂项为“”型 11
三、专题06数列求和(裂项相消法)专项训练 13
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一:等差型
=1\*GB3①
特别注意
②
如:(尤其要注意不能丢前边的)
类型二:无理型
=1\*GB3①
如:
类型三:指数型
①
如:
类型四:通项裂项为“”型
如:①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一:等差型
例题1.(2023秋·四川成都·高三校考阶段练习)已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
例题2.(2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习)在①,,②这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.
(1)已知数列的前n项和为,______,求的通项公式;
(2)数列满足,求数列的前n项和.
例题3.(2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习)已知数列满足,.
(1)判断数列是否是等比数列?若是,给出证明;否则,请说明理由;
(2)若数列的前10项和为361,记,数列的前项和为,求证:.
例题4.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)记递增的等差数列的前n项和为,已知,且.
(1)求和;
(2)设,求数列的前n项和.
题型二:无理型
例题1.(2023·河南·校联考模拟预测)已知等差数列的前n项和为,,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)当数列的公差不为0时,记数列的前n项和为,求证:.
例题2.(2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)在等比数列中,,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,数列的前项和为,求不等式的解集.
例题3.(2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)设各项均不为零的数列的前项和为,且对于任意,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前99项和.
例题4.(2023·重庆·统考三模)已知等差数列的前项和为,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:当时,.
题型三:指数型
例题1.(2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习)已知数列为等差数列,且,.
(1)求的通项公式;
(2)数列满足,数列的前项和为,求证:.
例题2.(2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习)已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:.
例题3.(2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证:.
例题4.(2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模)已知数列满足(且),且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,求证:.
题型四:通项裂项为“”型
例题1.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)记为数列的前项和,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
例题2.(2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习)已知数列的前项和为,满足,
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前20项和.
例题3.(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知数列满足:,.
(1)证明:是等比数列,并求的通项公式;
(2)令,求的前n项和.
例题4.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)设正项数列的前n项和为,已知,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
三、专题06数列求和(裂项相消法)专项训练
一、单选题
1.(2023春·河南周口·高二校联考阶段练习)已知数列的通项公式为,则(????)
A. B. C. D.
2.(2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)等比数列中,,数列,的前n项和为,则满足的n的最小值为(????)
A.6 B.7 C.8 D.9
3.(2023·全国·高三专题练习)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过x的最大整数.已知正项数列的前n项和为,且,令,则(????)
A.7 B.8 C.17 D.18
4.(2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中)已知函数的图象在点处的切线的斜率为,则数列的前项和为(????)
A. B. C. D.
5.(2023秋·江苏常州·高三校考期末)已知正项数列是公差不为的等差数列,,,成等比数列若,则(????)
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