专题59 二项式定理-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（原卷版）.docx

专题59二项式定理

知识梳理

考纲要求

考点预测

常用结论

方法技巧

题型归类

题型一：二项展开式的应用

题型二：二项展开式的第k项

题型三：多项式的展开式

题型四：二项式系数

题型五：项的系数

题型六：二项式定理的应用

题型七：杨辉三角

培优训练

训练一：

训练二：

训练三：

训练四：

训练五：

训练六：

强化测试

单选题：共8题

多选题：共4题

填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

【考点预测】

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).

2.二项式系数的性质

性质

性质描述

对称性

与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)

增减性

二项式系数Ceq\o\al(k,n)

当k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的

当k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的

二项式

系数最大值

当n为偶数时，中间的一项Cn

当n为奇数时，中间的两项Cnn?12

3.各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.

【常用结论】

(a＋b)n的展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).

【方法技巧】

1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.

2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.

3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.

4.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.

5.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).

6.二项式系数最大项的确定方法：

当n为偶数时，展开式中第eq\f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n为奇数时，展开式中第eq\f(n＋1,2)项和第eq\f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Cnn?12或Cnn+12.

二、【题型归类】

【题型一】二项展开式的应用

【典例1】（多选）（2024上·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【典例2】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知正整数，，，2，…，，则对任意的，都有（????）

A．B． C．D．

【典例3】（多选）（2023·福建宁德·校考模拟预测）若，，则（????）

A．

B．

C．

D．

【题型二】二项展开式的第k项

【典例1】（多选）（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，各项系数的和为1，则（????）

A． B．展开式中的常数项为

C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为

【典例2】（多选）（2023