- 1、本文档共43页,可阅读全部内容。
- 2、原创力文档(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
专题03圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题
(含定值、最值、范围问题)
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、弦长公式
(最常用公式,使用频率最高)
2、三角形面积问题
直线方程:
3、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意:为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
4、平行四边形的面积
直线为,直线为
注意:为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
5、范围问题
首选均值不等式,其实用二次函数,最后选导数均值不等式
变式:
作用:当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值;
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意:应用均值不等式求解最值时,应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举:
(1)(注意分三种情况讨论)
(2)
当且仅当时,等号成立
(3)
当且仅当时等号成立.
(4)
当且仅当时,等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.
二、典型题型
题型一:三角形面积(定值问题)
1.(2024上·江西新余·高二统考期末)如图,椭圆和圆,已知椭圆C的离心率为,直线与圆O相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)椭圆C的上顶点为B,EF是圆O的一条直径,EF不与坐标轴重合,直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q,求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先根据题意得到,再根据离心率得到,即可得到答案.
(2)首先设直线,与椭圆联立得到,从而得到,即可得到,,从而得到,再利用基本不等式即可得到最大值.
【详解】(1)直线与圆相切,则,
由椭圆的离心率,解得:,
椭圆的标准方程:;
(2)由题意知直线,的斜率存在且不为0,,
不妨设直线的斜率为,则直线.
由,得,或,
所以.
用代替,得
则,
,
,
设,则.
当且仅当,即,即时取等号,
所以.
【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
(1)设直线方程,设交点坐标为;
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,注意的判断;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
(5)代入韦达定理求解.
2.(2024上·浙江宁波·高二统考期末)已知椭圆离心率等于,长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与轨迹交于两点,为坐标原点,直线的斜率之积等于,试探究的面积是否为定值,并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值1,理由见解析
【分析】(1)列出关于的方程组求解后可得标准方程;
(2)设,直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得,代入斜率乘积化简得出的关系,然后由弦长公式计算弦长,再由点到直线距离公式求得三角形的高,从而计算三角形面积可得结论.
【详解】(1)由题意得,解得,???????
所以椭圆的方程为.
(2)设,联立直线和椭圆方程可得:,
消去可得:,
所以,即,
则,??????
,
,
把韦达定理代入可得:,
整理得,???????????????????????????????????
又,
而点到直线的距离,
所以,????????
把代入,则,可得是定值1.
【点睛】方法点睛:本题考查椭圆中三角形面积为定值问题,一般设出交点坐标,直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理,并把此结论代入题设条件得出参数关系,由弦长公式求得弦长,由点到直线距离公式求高,计算三角形面积,并根据参数关系化简得结论.
3.(2024上·四川宜宾·高二统考期末)已知点在抛物线上,斜率为的直线与交于两点,记直线的斜率分别为
(1)证明:为定值:
(2)若,求的面积.
【答案】(1)证明见解析;
(2)48.
【分析】(1)求出抛物线的方程,设出直线的方程,与的方程联立,借助韦达定理及斜率坐标公式计算即得.
(2)由(1)的结论求出,进而求出直线的方程,利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即得.
【详解】(1)由点在抛物线上,得,抛物线,
设直线的方程为,,显然,
由消去x得,
,则且,,
因此,
所以为定值.
(2)由,得,则,由(1)知,,
,解得,
直线的方程为,,
而点到直线的距离,
所以的面积.
题型二:四边形面积(定值问题)
1.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上,过点的两条直线,分别与椭圆交于另一点A,B,且直线,,的斜率满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明直线过定点;
(3)椭圆C的焦点分别为,,求凸四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)根据条件列出方程组,解出即可;
(2)设直线,联立直线和椭圆方程,消元后,利用,建立方程,解出后验证即可;
(3)设直线,联立直线和椭圆方程,消元
文档评论(0)