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专题08一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题
(原卷版)
知识剖析
知识剖析
一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K形图”,“三垂直”,“弦图”等,以
下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型
1.三等角都在直线的同侧
锐角
直角
钝角
2.三等角分居直线的两侧
C
3.在初三各学校的考试和中考试题中,一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一,本专题从中考试题和初三各名校的试题中,精选一线三等角相似模型的经典好体,并根据角度区别把一线三等角模型细分为三
类题型:三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角,适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
经典例题
经典例题
类型一:三垂直模型
1.(雅礼)如图,点A是双曲线
上运动时,点B
上一动点,连接OA,作OB⊥OA,使OA=20B,当点A
在双曲线上移动,则k的值为
2.(青竹湖)如图,∠AOB=90°,反比例函数的图象过点A(-1,a),反比例函数
(k0,x0)的图象过点B,且AB//x轴,过点B作MN//OA,交x轴于点M,交y轴于点N,交双
曲线干另一点,则△OBC的面积为
3.(广益)如图,点A,B在反比例函数
OA⊥AB,则k的值为
的图象上,点A的横坐标为2,点B的纵坐标为1,
4.(长沙中考2020)在矩形ABCD中,E为DC上的一点,把△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的
点F.
(1)求证:△ABF:△FCE
(2)若AB=2√3,AD=4,求EC的长
(3)若AE-DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tana+tanβ的值.
5.(广益)矩形ABCD中,AB=8,AD=12,将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE.
(1)如图1,若点P恰好在边BC上.
①求证:△EBP∽△PCD;②求AE的长;
(2)如图2,若E是AB的中点,EP的延长线交BC于点F,求BF的长.
图1
图2
6.(长郡)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,已知点Q是射线OC上一点,OQ=18√2,点P是x轴
正半轴上一点,tan∠POC=1,连接PQ,OA经过点O且与QP相切于点P,与边OC相交于另一点D.
(1)若圆心A在x轴上,求⊙A的半径;
(2)若圆心A在x轴的上方,且圆心A到x轴的距离为2,求⊙A的半径;
(3)在(2)的条件下,若OP10,点M是经过点O,D,P的抛物线上的一个动点,点F为x轴上的一个
动点,若满足的点M共有4个,求点F的横坐标的取值范围.
7.(麓山国际)有一边是另一边的√2倍的三角形叫做智慧三角形,这两边中较长边称为智慧边,这两边的
夹角叫做智慧角.
(1)已知Rt△ABC为智慧三角形,且Rt△ABC的一边长为√2,则该智慧三角形的面积为;
(2)如图①,在△ABC中,∠C=105°,∠B=30°,求证:△ABC是智慧三角形;
(3)如图②,△ABC是智慧三角形,BC为智慧边,B为智慧角,A(3.0),点B,C在函数
(x0)的图象上,点C在点B的上方,且点B的纵坐标为√2.当△ABC是直角三角形时,求k的值.
②①
②
类型二:一线三锐角
8.(师大梅溪湖)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=2√2,AD=AE,∠DAE=90°,CE=√5,则
CD的长为.(提示,作辅助线构造一线三等角的相似)
5.(青竹湖)如图,在△ABC中,∠B=∠ACB=45°,AB=6√2,点D是BC上一点,作DE⊥AD交射
线AC于E,DF平分∠ADE交AC于F.
(1)求证:AB·CF=BD·CD;
(2)如图2,当∠AED=75°时,求CF的长;
(3)若CD=3BD,
图
图2
10.(广益)如图1,已知直线y=kx+2k(k为常数,k≠0)与x轴相交于点A,点B与点A关于y轴对称,
点C在y轴的正半轴上,OC=√3OA,连接AC,BC。
(1)求△ABC的面积及sin∠ACB;
(2)如图2,已知P,Q分别是线段AC,BC上的一动点,且始终满足∠POQ=60°。
①求AP·BQ
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