中考数学复习专题07 圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型压轴题专题（解析版）.docx

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专题07圆与母型相似：切割线定理反A模型压轴题专题

(解析版)

知识剖析

知识剖析

切割线定理：反A模型

经典例题

经典例题

1.(北雅)如图，D为QO上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.

(1)求证：CD是QO的切线；

(2)过点B作QO的切线交CD

【解答】(1)证明：连OD,OE,

的延长线于点E,若BC=6,

求BE的长.

如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,

又∵∠CDA=∠CBD,而∠CBD=∠1,∴∠1=∠CDA,∴∠CDA+∠

又∵∠CDA=∠CBD,

∴CD是QO的切线；

的切线，∴ED=EB,OE

的切线，∴ED=EB,OE⊥DB,∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,

而∵Rt△CDO∽Rt△∴∠

而

∵Rt△CDO∽Rt△

,:

在Rt△

在Rt△CBE中，设BE=x,∴(x+4)2=x2+62,

,:

解得

2.(南雅)如图，D为QO上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2=CA·CB.

(1)求证：CD是QO的切线；

(2)过点B作QO的切线交CD的延长线于点E,若BC=10,

求BE的长.

【解答】(1)证明：如图，连接OD,∵CD2=CA·CB,

∴∠ADC=∠DBC,∵OB=OD,∴∠BDO=∠DBO,∵AB

∴∠BDO+∠ODA=∠CDA+∠ODA=90°,∴OD⊥CD,∴CD

∵∠C=∠C,∴△DCA∽△BCD,

为QO的直径，∴∠BDA=90°,

为O0的切线；

(2)∵BE、CE是QO的切线，∴ED=EB,∵△DCA∽△BCD,∴∠DBA=∠CDA,∴

设BE=x,则DE=x,CE=x+6.在Rt△CBE中，

,:,

(x+6)2=x2+102,解得：

3.(长郡)已知：如图，◎O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连

结PD.

(1)求证：PD是◎O的切线.

(2)求证：PD2=PB·PA.

求直径AB的长.(

求直径AB的长.

9

【解答】(1)证明：连接OD,OC,∵PC

是QO的切线，∴∠PCO=90°,∵AB⊥CD,AB

是直径，

∴弧BD=弧BC,∴∠DOP=∠COP,在△DOP和△COP中，

∴△DOP≌△COP(SAS),∴∠PDO=∠PCO=90°,∵D在QO上，∴PD是QO的切线；

(2)证明：∵AB是QO的直径，∴∠ADB=90°,∵∠PDO=90°,∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO,

∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠A=∠PDB,.∠BPD=∠BPD,∴△PDB∽△PAD,

∴PD2=PA·PB;

(3)解：∵DC⊥AB,∴∠ADB=∠DMB=90°,∴∠A+∠DBM=90°,∠CDB+∠DBM=90°,

∴∠A=∠CDB,

··

,:

∵PD=4,∴PB=2,PA=8,∴AB=8-2=6.

∵△PDB∽△PAD,

4.(明德)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D,且AC

平分∠DAB,延长AB交DC于点E,CF⊥AB于点F.

(1)求证：直线DE与⊙O相切；

(2)若EB=2,EC=4,求QO的半径及AC、AD的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

【解答】解：(1)连接OC;∵AD⊥DC,∴∠DAC+∠ACD=90°;又∵AC平分∠DAB,OA=OC,

∴∠DAC=∠CAO,∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,∴∠ACD+∠ACO=90°,即OC⊥DC,

∴直线DE与QO相切.

(2)∵EC是QO的切线，∴EC2=EB·EA,而EC=4,EB=2,∴EA=8,AB=8-2=6;

∴QO的半径为3.∵AC平分∠DAE,∴

,∴

9

∵AC平分∠DAB,CD⊥AD,CF⊥AB,∴CD=CF;在△ADC与△AFC

(

(设为x);

中，

为⊙O的直径，∴∠ACB=9