中考数学复习专题06 圆与射影定理结合型压轴题专题（解析版）.docx

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专题06圆与射影定理结合型压轴题专题

(解析版)

知识剖析

知识剖析

射影定理模型：

射影定理，又称“欧几里德定理”:在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理，

在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。

经典例题

经典例题

1.(长沙中考)如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合),PQ⊥MN,NE平分∠

MNP,交PM于点E,交PQ于点F.

(1)

(2)若PN2=PM-MN,贝

【解答】解：(1)∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN=90°,∵PQ⊥MN,∴∠PQN=∠MPN=90°,

∵NE平分∠PNM,∴∠MNE=∠PNE,∴△PEN∽△QFN,.。即①,

∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°,∴∠NPQ=∠PMQ,∵∠PQN=∠PQM=90°,

∴△NPQ∽△PMQ,.②,∴①×②得,∵0F=pQ-PF,∴

:。·::·

:

。

·:

:

·

故答案为：1;

(2)∵∠PNQ=∠MNP,∠NQP=∠NPM,∴由射影定理得：PN2=QN·MN,∵PN2=PM·MN,∴PM=

:设QN,∴,

:

设

QN,∴

,

则

则x2+x-1=0,解得，

,

2.(北雅)如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(不与M、N重合),PH⊥MN于H点，过N点作NQ

与PH平行交MP的延长线于Q点.

(1)求∠QPN的度数；

(2)求证：QN与OO相切；

(3)若PN2=PM·MN,求的值.

【解答】(1)解：∵MN是直径，∴∠MPN=90°,∴∠QPN=90°;

(2)证明：∵PH⊥MN,∴∠PHM=90°,∵QNIIPH,∴∠QNM=∠PHM=90,∴ON⊥QN,

∵ON是半径，∴QN与OO相切；

(3)解：∵∠MNP+∠PNQ=90,∠PNQ+∠Q=90°,∴∠MNP=∠Q,∵∠MPN=∠OPN,

∴△NPM∽△QPN,∴∴PN2=PM·QP,∵PN2=PM·MN,∴QP=MN,∵PH1IQN,:

.…,同理得，△MHPO△MPN,∵,∴HN=MP,设PQ=MN=a,MP=b,

,

,

(舍)或

3.(长沙中考)如图，点A,B,C在OO上运动，满足AB2=BC2+AC2,延长AC至点D,使得

∠DBC=∠CAB,点E是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点E作弦AB的垂线，交AB于点F,

交BC的延长线于点N,交OO于点M(点M在劣弧AC上).

.··

.

··

(1)BD是OO的切线吗?请作出你的判断并给出证明；

(2)记△BDC,△ABC,△ADB的面积分别为S,S?,S,若S?·S=(S?)2,求(tanD)2的值；

(3)若OO的半径为1,设FM=x,试求y关于x的函数解析式，并

写出自变量x的取值范围.

【解答】解：(1)BD是QO的切线.证明：如图，在△ABC中，AB2=BC2+AC2,

∴∠ACB=90°.又点A,B,C在OO上，∴AB是OO的直径.∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.

又∠DBC=∠CAB,∴∠DBC+∠ABC=90°.∴∠ABD=90°.∴BD是OO的切线.

(2)由题意得，,,.∵S·S=(S,)2,

.∴CD.AD=AC2,∴CD(CD+AC)=AC°,又：∠D+∠DC=90°

∠ABC+∠A=90°,∠DBC=∠A,∴∠D=∠ABC.·.:

又CD(CD+AC)=AC2,∴..∴BC?+AC2.BC2=AC°,∴

·由题意，设(tan∠D)2=m,∴.:1+m=m2.∴.∵m0,

·

(3)设∠A=a,∵∠A+∠ABC=∠ABC+∠DBC=∠ABC+∠N=90°,∴∠A=∠DBC=∠N=α.

如图，连接OM.

∴在RtAOFM中，OF=√OM2-FM2=√1-x2.∴BF=BO+OF=1+√I-x2,AF=OA-OF=1-√1-x2

。,

。,

:在