2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究动点问题 (含答案).docxVIP

2024甘肃中考数学二轮专题训练几何综合探究动点问题

典例精讲

例1(一题多设问)如图，△AMN的顶点M、N分别在四边形ABCD的边BC、CD所在的直线上，且满足∠MAN＝45°.

探究一：若四边形ABCD为正方形，点M、N分别在正方形的边BC、CD上．

(1)如图①，当BM＝DN时，求证：△AMN为等腰三角形；

【思维教练】要证△AMN为等腰三角形，可根据正方形的性质结合已知条件，证明三角形全等，进而得到线段相等．

例1题图①

(2)如图②，当点M、N分别在线段BC、CD上时，猜想并证明线段MN、BM、DN之间的数量关系；

【思维教练】在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，构造全等三角形，得到新的全等三角形，可得出ME＝MN，进而得出线段MN、BM、DN之间的数量关系．

例1题图②

(3)如图③，连接BD交AM、AN于点P、Q，若BP＝DQ，求证：eq\f(AQ,AN)＝eq\f(BP,CN)；

【思维教练】要证明线段比值关系，可通过构造相似三角形求解．

例1题图③

探究二：若四边形ABCD为正方形，点M、N分别在边CB、DC的延长线上．

(4)如图④，猜想并证明线段MN、BM、DN之间的的数量关系；

【思维教练】在DC上截取DF＝BM，连接AF，通过证明三角形全等，得出AM＝AF，进一步证明△MAN≌△FAN，得到MN和NF的关系，进而得到MN、BM、DN之间的数量关系．

例1题图④

(5)如图⑤，若BC＝4，BM＝1，求CN的长；

【思维教练】根据(4)中得到的线段之间的数量关系，设未知数，结合勾股定理求解．

例1题图⑤

(6)如图⑥，作射线DB交AM的延长线于点P，交AN于点Q，若CN＝CD＝6，求AP的长；

【思维教练】由勾股定理可求出AN，结合平行线的性质得到三角形相似，从而得出线段比值关系，可求出AQ，再结合(4)中所得关系式设未知数列方程，结合勾股定理和相似三角形求解即可．

例1题图⑥

探究三：若四边形ABCD为矩形，点M、N分别在边BC、DC上．

(7)如图⑦，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，若BM＝1，求DN的长．

【思维教练】延长AB构造正方形，找相似三角形，得到线段间的比值关系，设未知数，结合(2)中关系式及勾股定理列方程求解即可．

例1题图⑦

针对训练

1.已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

【探究建模】

(1)如图①，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．

求证：AE＝CF；

【类比应用】

(2)如图②，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF,AE⊥EF，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；

【拓展迁移】

(3)如图③，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC,AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝eq\r(2)，求CE的长．

第1题图

2.【证明体验】

(1)如图①，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC.

求证：DE平分∠ADB.

【思考探究】

(2)如图②，在(1)的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G.若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．

【拓展延伸】

(3)如图③，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC.若BC＝5，CD＝2eq\r(5)，AD＝2AE，求AC的长．

第2题图

3.已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.

(1)如图①，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.试探究BD与CE的关系；

(2)如图②，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.若BD⊥AD，AB＝2eq\r(10)，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；

(3)如图③，已知点D在BC下方，连接AD、BD、CD.若∠CBD＝30°，∠BAD15°，AB2＝6，AD2＝4＋eq\r(3)，求sin∠BCD的值．

第3题图

4.在正方形ABCD中，点P为线段DB上的动点，点E为线段DC上的动点，连接PE，作PF⊥PE交直线AD于点F.

(1)如图①，当点P与线段BD的中点O重合时，DE、FD、DB三条线段之间的数量关系为________________________________________________________________________；

(2)如图②，点P在DB的延长线上，且eq\f(PB,BD)＝eq\f(1,3)，点E、F分别在线段DC的延长线和线段DA的延长线上，请写出DE、FD、DB三条线段之间的数量关系，并说明理由；

(3)点P在线