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TwithpinternalverticessuchthatthesumofallthecolornumbersofTisn−2p.Define
Tn=[n/2]Tn,p.LetBndenotethesetofcompletebinarytreeswithninternalvertices.
p=0
ForanyB∈B,letP=vv···vbeapathoflengthkofB(viewedfromtherootof
n12k
B).PiscalledaR-path,if(1)viistherightchildofvi−1for2ikand(2)theleft
childofviisaleaffor1ik.Inaddition,PiscalledaalR-pathifthereexists
novertexusuchthatuPorPuformsaR-path.PiscalledanL-path,ifk2andviis
theleftchildofvi−1for2ik.PiscalledaalL-pathifthereexistsnovertex
usuchthatuPorPuformsanL-path.Clearly,aleafcanneverbeR-pathorL-path.
NotethatthedefinitionofL-pathisdifferentfromthatofR-path.Hence,ifPisa
alR-path,then(1)therightchilduofvkmusteitherbealeafortheleftchildof
uisnotaleaf;(2)v1musteitherbealeftchildofitsfather(ifexists)orthefatherofv1
hasaleftchildwhichisnotaleaf.IfPisaalL-path,then(1)vkmustbealeaf
whichisalsoaleftchildofvk−1;(2)v1mustbetherightchildofitsfather(ifexists).
Theorem2.1ThereexistsasimplebijectionφbetweenBandT.
nn
Proof.Wefirstgivetheproceduretoconstructacompletebinarytreefromacolored
completeternarytree.
Step1.ForeachvertexvofT∈Tnwithcolornumbercv=k,removethecolornumber
andaddanR-pathP=vv···voflengthktovsuchthatvisarightchildof
12k
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