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微专题02平面向量的基本定理
【题型归纳目录】
题型一:平面向量基本定理的理解
题型二:利用基底表示向量
题型三:平面向量坐标化
题型四:等和线
【典型例题】
题型一:平面向量基本定理的理解
【例1】(2024·高一课时练习)已知,是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是(????)
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】对于A:零向量与任意向量均共线,所以此两个向量不可以作为基底;
对于B:因为,,所以,所以此两个向量不可以作为基底;
对于C:设,即,则,所以无解,所以此两个向量不共线,可以作为一组基底;
对于D:设,,所以,所以此两个向量不可以作为基底;
故选:C.
【变式1-1】(2024·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中)设是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的一组是(???)
A.和 B.和
C.和 D.和
【答案】A
【解析】对于A,因为,所以和共线,则这组向量不能作为平面内的一组基底,故A正确;
对于B,假设和共线,则,故,
所以共线,这与题设矛盾,所以假设不成立,
则和能作为平面内的一组基底,故B错误;
对于C,假设和共线,则,即,
由于与不能同时为,所以共线,这与题设矛盾,所以假设不成立,
则和能作为平面内的一组基底,故C错误;
对于D,假设和共线,则,即,
由于与不能同时为,所以共线,这与题设矛盾,所以假设不成立,
则和能作为平面内的一组基底,故D错误.
故选:A.
【变式1-2】(2024·高一课时练习)如果是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(???)
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】D
【解析】由为不共线向量,可知与,与,与必不共线,
都可作为平面向量的基底,
而,故与共线,不能作为该平面所有向量的基底.
故选:D.
题型二:利用基底表示向量
【例2】(2024·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习)在中,点是的中点,点分的比为与相交于,设,则向量(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意三点共线,所以存在,使得,
同理三点共线,所以存在,使得,
由平面向量基本定理可得,解得,
所以.
故选:C.
【变式2-1】(2024·天津·高一天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末)在平行四边形中,点为对角线上靠近点的三等分点,连接并延长交于点,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示:
因为,则,所以,,,
所以,,
因此,,
故选:D.
【变式2-2】(2024·高一课时练习)已知分别为的边上的中线,设,,则=(????)
??
A.+ B.+
C. D.+
【答案】B
【解析】分别为的边上的中线,
则,
,
由于,,所以,
故解得
故选:B
【变式2-3】(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中)如图,在中,,,和相交于点,则向量等于(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】过点分别作交于点,作交于点,
已知,,
,则和,
则:且,
即:且,所以,
则:,所以,
解得:,
同理,和,
则:且,
即:且,所以,
则:,即,
所以,即,
得:,
解得:,
四边形是平行四边形,
由向量加法法则,得,
所以.
故选:B.
题型三:平面向量坐标化
【例3】(2024·安徽马鞍山·高一统考期末)正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC的中点,BE与AF交于点G.则(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图,以为原点,分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系,
设正方形的边长为2,则,
所以,
因为三点共线,所以存在唯一实数,使,
所以,
因为三点共线,所以存在唯一实数,使,
所以,所以,解得,
所以,
设,则,
所以,
所以,
故选:A
【变式3-1】(2024·全国·高一专题练习)若是一组基底,向量,则称为向量在基底下的坐标,现已知向量在基底下的坐标为,则向量在另一组基底下的坐标为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,得;设,
即,,,,,
则,解得,
故选:.
【变式3-2】(2024·全国·高一专题练习)若向量,是一组基底,向量,则称为向量在基底,下的坐标.现已知向量在基底,下的坐标为,则向量在另一组基底,下的坐标为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知条件知,,即,
设,则,所以,
解得:,
向量在基底,下的坐标为:.
故选:D.
题型四:等和线
【例4】(2024·山西太原·高三太原五中校考阶段练习)如图,腰长为4的等腰三角形中,,动圆的半径,圆心在线段(含端点)上运动,为圆上及其内部的动点,若,则的取值范围为(????)
A. B. C.
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