2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型九 圆的综合题 （含答案）.docxVIP

2024贵阳中考数学二轮中考题型研究

题型九圆的综合题

类型一与圆的性质有关的证明与计算

典例精讲

例(一题多设问)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.

(1)EM与BE的数量关系是________；

(2)求证：eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))；

(3)若AM＝eq\r(3)，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

例题图

拓展设问

(4)若∠BAC＝15°，AM＝3，求⊙O的半径及EN的长．

针对演练

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，连接AD，OE，若M为CD的中点．

(1)求证：DE∥AB；

(2)若OE∥AD，

①连接AC，求证：AC＝DE；

②若CD＝2eq\r(3)，求图中阴影部分的面积．

第1题图

类型二与切线有关的证明与计算

典例精讲

例(一题多设问)如图①，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线DF，与AC交于点F.

求证：CF＝EF；

【思维教练】要证CF＝EF，可连接OD、DE，利用切线的性质及AB＝AC可证明DF⊥AC，则只需证明△CDE是等腰三角形，利用三线合一的性质即可求证．

例题图①

如图②，连接BE，求证：DF∥BE；

【思维教练】根据AB是⊙O的直径，可以得到BE⊥AC，要证DF∥BE，只需证明DF⊥AC即可，由(1)即可得知．

例题图②

如图③，若⊙O的半径为4，∠CDF＝30°，求CF的长；

【思维教练】要求CF的长，可将其放在Rt△CDF中，利用三角函数求解，连接AD，由⊙O的半径可得CD的长，即可求解．

例题图③

如图④，若tanC＝2，CE＝4，求⊙O的半径；

【思维教练】要求⊙O的半径，只需求出AB的长，连接BE，构造出Rt△ABE，在直角三角形中求解即可．

例题图④

(5)如图⑤，若∠A＝45°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【思维教练】要求阴影部分的面积，可将其分为△AOE、△BOD及扇形DOE三部分，利用和差法求解即可．

例题图⑤

针对演练

1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于eq\f(1,2)MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP，交AC于点F.点O是斜边AB上一点，以点O为圆心，OB的长为半径的圆恰好与AC相切于点F.

第1题图

(1)若∠A＝30°，求证：△ABF是等腰三角形；

(2)若BC＝6，tanA＝eq\f(3,4)，求⊙O的半径．

参考答案

类型一与圆的性质有关的证明与计算

典例精讲

例(1)解：BE＝eq\r(2)EM；(2分)

【解法提示】∵AC为⊙O的直径，E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴∠ABE＝45°.∵AB⊥EN，∴△EMB为等腰直角三角形，∴BE＝eq\r(2)EM.

(2)证明：如解图①，连接EO，

∵AC是⊙O的直径，点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，

∴∠AOE＝90°，

∴∠ABE＝eq\f(1,2)∠AOE＝45°.

∵EN⊥AB，垂足为M，

∴∠EMB＝90°，

∴∠ABE＝∠BEN＝45°，

∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵)).

∵点E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，

∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(EC,\s\up8(︵))，

∴eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))，

∴eq\o(EC,\s\up8(︵))－eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))－eq\o(BC,\s\up8(︵))，

∴eq\o(EB,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))；(7分)

例题解图①

(3)解：如解图①，连接AE，OB，ON，

∵EN⊥AB，垂足为M，

∴∠AME＝∠EMB＝90°.

∵BM＝1，由(2)得∠ABE＝∠BEN＝45°，

∴EM＝1，BE＝eq\r(2).

∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝eq\r(3)，

∴tan∠EAB＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，

∴∠EAB＝30°.

∵∠EAB＝eq\f(1,2)∠EOB，

∴∠EOB＝60°.

又∵OE＝OB，

∴△EOB是等边三角形，

∴OE＝BE＝eq\r(2).

又∵eq\o(EB,\