2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究折叠问题 (含答案).docxVIP

2024甘肃中考数学二轮专题训练几何综合探究折叠问题

典例精讲

例2(一题多设问)【问题解决】在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上两点，且AF＝CE，将矩形ABCD沿EF折叠后，进行以下探究：

(1)如图①，当点E与点C重合，点F与点A重合，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为B′，B′C与AD交于点G，求证：△AGC为等腰三角形；

【思维教练】要证△AGC为等腰三角形，可结合折叠的性质，通过证三角形全等得到边相等求证．

例2题图①

(2)如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，B′E与AD交于点H，求证：HF＝HE；

【思维教练】要证边相等，可结合折叠的性质证明角相等即可．

例2题图②

(3)如图③，将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A′，点B恰好与点D重合，连接BF，求证：四边形BEDF为菱形；

【思维教练】要证四边形BEDF为菱形，可根据题目已知条件，先证明四边形是平行四边形，再结合折叠的性质证明平行四边形是菱形．

例2题图③

【问题探索】

(4)如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，A′B′与AD、CD交于点M、P，延长EB′交AD的延长线于点N，若AF＝CE，求证：点P在线段EF的垂直平分线上；

【思维教练】可通过构造等腰三角形，利用三线合一结合折叠的性质证明求解．

例2题图④

(5)如图⑤，点E，F分别在BC，AD上，且F为AD的中点，BC＝3BE，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，求cos∠EGF的值；

【思维教练】结合矩形和折叠的性质，通过作辅助线构造等角，将∠EGF转换到直角三角形中求解．

例2题图⑤

【拓展应用】

(6)如图⑥，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，A′B′与AD、CD交于H、M，B′E与CD交于点N，若AF＝CE，FD＝4，点H为FD的中点，求EN的长．

【思维教练】通过等角代换结合已知条件，证明三角形全等，得到边相等求解．

例2题图⑥

针对训练

1.【问题解决】

(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD(ADAB)中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点B′处，折线AE交BC于点E，连接B′E.求证：四边形ABEB′是菱形．

【规律探索】

(2)如图②，在平行四边形纸片ABCD(ADAB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由．

【拓展应用】

(3)如图③，在矩形纸片ABCD(ADAB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点B′处，点A落在纸片ABCD外部点A′处，A′B′与AD交于点M，且A′M＝B′M.

已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长．

第1题图

2.实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝________度；

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝______度；

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

(1)设AM与NF的交点为点P，求证：△ANP≌△FNE；

(2)若AB＝eq\r(3)，则线段AP的长为________．

第2题图

3.【问题解决】

(1)如图①，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F恰好落在AD边上，请你判断四边形ABEF的形状，并说明理由；

【问题探索】

(2)如图②，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F在矩形纸片ABCD的内部，延长AF交CD于点G，求证：FG＝CG；

【拓展应用】

(3)如图③，在正方形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F落在正方形纸片ABCD内，延长AF交CD于点G，若AB＝4，求线段FG的长．

第3题图

4.综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF,BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；

独立思考：(1)请解答老师提出的问题；

实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将?ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为