专题1-4 正弦定理和余弦定理解三角形19类题型128题汇编（原卷版）.docxVIP

专题1-4正弦定理和余弦定理解三角形19类题型128题汇编

TOC\o1-3\n\h\z\u知识点梳理

模块一正余弦定理的基本运算

【题型1】正弦定理及辨析

【题型2】已知两边及其夹角（余弦定理）

【题型3】已知两边及一边的对角（正弦或余弦定理）

【题型4】已知三边或三边的数量关系

【题型5】已知一边一角及另外两边的关系

【题型6】已知两角及一边

模块二正余弦定理的应用

【题型7】外接圆半径

【题型8】余弦定理的应用(求值)

【题型9】正弦定理的应用（边角互化,拆角与合角）

【题型10】三角形的面积的相关计算

【题型11】三角形的周长的相关计算

【题型12】正余弦定理的综合应用

模块三解三角形综合

【题型13】三角形解的个数问题

【题型14】判断三角形的形状

【题型15】三角形性质综合判断

【题型16】已知三角形形状，结合余弦定理求范围

【题型18】解三角形的实际应用

【题型19】结合恒等变换，诱导公式，三角函数解三角形

知识点梳理

1.正弦定理与余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则

正弦定理

余弦定理

适用范围

(1)已知两角及任意一边.

(2)已知两边及其中一边的对角.

(1)已知两边和夹角或已知三边．

(2)已知两边和一边的对角．

公式

变

形

与

应

用

(1)，，.

(2)，，.

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即.

(4)，，

(5)大边对大角大角对大边

(6)合分比：

，

，

.

，

，

2.三角形内角和及三角形常见重要关系

(1)内角和定理：（结合诱导公式），进而有等式子

(2)三角函数关系：=1\*GB3①

同理有：，.

=2\*GB3②；

=3\*GB3③斜三角形中，

=4\*GB3④；

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，；；．

(4)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：.

3.三角形常用面积公式（后3个解答题中不能直接用）

(1)(ha表示边a上的高).

(2).

(3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）

(4)海伦公式：，即，其中为△ABC的半周长.

(5)向量式：其中

3.正弦定理之齐次式结构

结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化

（1）整式齐次式

①边的齐次式：

②sin角的齐次式：

（2）分式齐次式：

4.拆角与合角的技巧

1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种

①合角

如：

②拆角——拆单角（“单身狗角”）

如：

，，

（2），

5.常见等式的化简

中：①②（舍去）

①②

①②

，则或

6.恒等变换

（1）二倍角公式：，

（2）二倍角公式的扩角降幂：.，

忘记了可以用二倍角公式推导:记，

则

故，

（3）辅助角公式：

注意：，且与在同一象限

7.三角形解的个数

已知三角形的边角边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．

已知边边角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：

策略一：由正弦定理得，

①若，则满足条件的三角形个数为0，即无解．

②若，则满足条件的三角形个数为1，即一解．

③若，则满足条件的三角形个数为1或2.

策略二：结合图像

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

8.判断三角形形状的策略

利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线

1.先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.

2.先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系.

注意：等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．

余弦定理判断三角形形状：

（1）△ABC为直角三角形?或或.

常见条件：∠C为直角?，

（2）△ABC为锐角三角形?，且，且.

常见条件：

（3）△ABC为钝角三角形?或或.

其它常见条件：

（4）若，则或.

9.解三角形中的实际应用问题

(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).

(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).

(3)方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东α