必修二第二章点线面位置关系.docx

章末复习

1．线线关系

空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．

两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．

(1)证明线线平行的方法

①线线平行的定义；

②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；

③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；

④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；

⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.

(2)证明线线垂直的方法

①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；

②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；

③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.

2．线面关系

直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．

(1)证明直线与平面平行的方法

①线面平行的定义；

②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；

③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β.

(2)证明直线与平面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α；

③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；

④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；

⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.

3．面面关系

两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．

(1)证明面面平行的方法

①面面平行的定义；

②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，

a∩b＝A?α∥β；

③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β?α∥β；

④公理4的推广：α∥γ，β∥γ?α∥β.

(2)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；

②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.

4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点

(1)由已知想性质，由求证想判定．

(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．

(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．

5．“升降维”思想

用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．

平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程．

题型一空间中的平行关系

在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．

例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

解

当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝eq\f(1,2)PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綉eq\f(1,2)PB，∴PF綉MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.

跟踪演练1如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.

证明(1)

由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

(2)连接OG并延长交AC于点M，

连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．

由Q为PA中点，得QM∥PC，

又O为AB中点，得OM∥BC.

因为QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，

所以平面QMO∥平面PBC.

因为QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC.

题型二空间中的垂直关系

空间垂直关系的判定方法：

(1)判定线线垂直的方法：

①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；

②线面垂直的性质(