2024年高考数学模拟试题及参考答案.doc

2024年高考数学模拟试题及参考答案

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（）

A． B．

C． D．

2．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（）

A． B． C． D．

3．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点仅有一个；

②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；

③无论过点的直线在什么位置，总有；

④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()

A． B． C． D．

5．函数的大致图像为（）

A． B．

C． D．

6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）

A． B． C． D．

7．已知a，b∈R，，则（）

A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a

8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）

A． B．

C． D．

9．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为

A． B． C． D．

10．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（）

A． B． C． D．

11．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（）

A． B． C． D．

12．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（）．

A． B．

C．或 D．或

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.

14．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.

15．若复数（是虚数单位），则________

16．已知函数，若，则___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围.

18．（12分）已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．

19．（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.

（1）求关于的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.

20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．

21．（12分）设函数，，其中，为正实数.

（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；

（2）设，证明：对任意，都有.

22．（10分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】

的定义域为，，

当时，，故在单调递减；

不妨设，而，知在单调递减，

从而对任意、，恒有，

即，

，，

令，则，原不等式等价于在单调递减，即，

从而，因为，

所以