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一元二次方程及其应用
一选择题
1(2024·云南省昆明·4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()
Am<3 Bm>3 Cm≤3 Dm≥3
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=(﹣2)2﹣4m>0,求出m的取值范围即可
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4m>0,
∴m<3,
故选:A
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根
2(2024?呼和浩特?3分)下列运算及判断正确的是()#ERR1
A﹣5×÷(﹣)×5=1
B方程(x2+x﹣1)x+3=1有四个整数解
C若a×5673=103,a÷103=b,则a×b=
D有序数对(m2+1,m)在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限
【解答】解:A﹣5×÷(﹣)×5=﹣1×(﹣5)×5=25,故错误;
B方程(x2+x﹣1)x+3=1有四个整数解:x=1,x=﹣2,x=﹣3,x=﹣1,故正确;
C若a×5673=103,a÷103=b,则a×b=×=,故错误;
D有序数对(m2+1,m)在平面直角坐标系中对应的点一定在第一象限或第四象限或x轴正半轴上,故错误;
故选:B
3(2024·湖北咸宁·3分)已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1,x2,且x1<x2,下列结论正确的是()
Ax1+x2=1Bx1?x2=﹣1C|x1|<|x2|Dx12+x1=
【答案】D
【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对AB进行判断;由于x1+x2<0,x1x2<0,则利用有理数的性质得到x1x2异号,且负数的绝对值大,则可对C进行判断;利用一元二次方程解的定义对D进行判断
【详解】根据题意得x1+x2=﹣=﹣1,x1x2=﹣,故AB选项错误;
∵x1+x2<0,x1x2<0,
∴x1x2异号,且负数的绝对值大,故C选项错误;
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根,
∴2x12+2x1﹣1=0,
∴x12+x1=,故D选项正确,故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握相关内容是解题的关键
4(2024·辽宁大连·3分)如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为()
A10×6﹣4×6x=32B(10﹣2x)(6﹣2x)=32C(10﹣x)(6﹣x)=32D10×6﹣4x2=32
解:设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,根据题意得:(10﹣2x)(6﹣2x)=32故选B
二填空题
1(2024·湖北荆州·3分)关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是
【解答】解:∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1x2,
∴x1+x2=2k,x1?x2=k2﹣k,
∵x12+x22=4,
∴=4,
(2k)2﹣2(k2﹣k)=4,
2k2+2k﹣4=0,
k2+k﹣2=0,
k=﹣2或1,
∵△=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣k)≥0,
k≥0,
∴k=1,
∴x1?x2=k2﹣k=0,
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4
故答案为:4
2(2024·云南省曲靖·3分)关于x的方程ax2+4x﹣2=0(a≠0)有实数根,那么负整数a=﹣2(一个即可)
【解答】解:∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0(a≠0)有实数根,
∴△=42+8a≥0,
解得a≥﹣2,
∴负整数a=﹣1或﹣2
故答案为﹣2
3(2024·浙江省台州·5分)已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根,则m=
【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m=0,然后解关于m的方程即可,
【解答】解:根据题意得△=32﹣4m=0,
解得m=
故答案为
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根
4(4分)已知x1,x2是方程2x2﹣
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