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正多边形与圆
填空题
1(2024·云南省昆明·3分)如图,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇形ABF,则图中阴影部分的面积为﹣(结果保留根号和π)
【分析】正六边形的中心为点O,连接ODOE,作OH⊥DE于H,根据正多边形的中心角公式求出∠DOE,求出OH,得到正六边形ABCDEF的面积,求出∠A,利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积,结合图形计算即可
【解答】解:正六边形的中心为点O,连接ODOE,作OH⊥DE于H,
∠DOE==60°,
∴OD=OE=DE=1,
∴OH=,
∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=,
∠A==120°,
∴扇形ABF的面积==,
∴图中阴影部分的面积=﹣,
故答案为:﹣
【点评】本题考查的是正多边形和圆扇形面积计算,掌握正多边形的中心角内角的计算公式扇形面积公式是解题的关键
2(2024?呼和浩特?3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为
解:设⊙O的半径为r,⊙O的内接正方形ABCD,如图,
过O作OQ⊥BC于Q,连接OBOC,即OQ为正方形ABCD的边心距,
∵四边形BACD是正方形,⊙O是正方形ABCD的外接圆,
∴O为正方形ABCD的中心,
∴∠BOC=90°,
∵OQ⊥BC,OB=CO,
∴QC=BQ,∠COQ=∠BOQ=45°,
∴OQ=OC×cos45°=R;
设⊙O的内接正△EFG,如图,
过O作OH⊥FG于H,连接OG,即OH为正△EFG的边心距,
∵正△EFG是⊙O的外接圆,
∴∠OGF=∠EGF=30°,
∴OH=OG×sin30°=R,
∴OQ:OH=(R):(R)=:1,
故答案为::1
3(2024?莱芜?4分)如图,正方形ABCD的边长为2a,E为BC边的中点,的圆心分别在边ABCD上,这两段圆弧在正方形内交于点F,则EF间的距离为
【分析】作DE的中垂线交CD于G,则G为的圆心,H为的圆心,连接EF,GH,交于点O,连接GF,FH,HE,EG,依据勾股定理可得GE=FG=,根据四边形EGFH是菱形,四边形BCGH是矩形,即可得到Rt△OEG中,OE=a,即可得到EF=a
【解答】解:如图,作DE的中垂线交CD于G,则G为的圆心,同理可得,H为的圆心,
连接EF,GH,交于点O,连接GF,FH,HE,EG,
设GE=GD=x,则CG=2a﹣x,CE=a,
Rt△CEG中,(2a﹣x)2+a2=x2,
解得x=,
∴GE=FG=,
同理可得,EH=FH=,
∴四边形EGFH是菱形,四边形BCGH是矩形,
∴GO=BC=a,
∴Rt△OEG中,OE==a,
∴EF=a,
故答案为:a
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质,相交两圆的连心线(经过两个圆心的直线),垂直平分两圆的公共弦注意:在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系
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