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直角三角形与勾股定理
一选择题
1(2024?江苏淮安?3分)如图,菱形ABCD的对角线ACBD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()
A20 B24 C40 D48
【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长
【解答】解:由菱形对角线性质知,AO=AC=3,BO=BD=4,且AO⊥BO,
则AB==5,故这个菱形的周长L=4AB=20
故选:A
【点评】本题考查了菱形面积的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键,难度一般
2(2024?山东东营市?3分)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()
A B C D
【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解
【解答】解:把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点AC的最短距离为线段AC的长
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=15π,
所以AC=,
故选:C
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解题的关键是会将圆柱的侧面展开,并利用勾股定理解答
3(2024?湖州?3分)如图,已知在△ABC中,∠BAC>90°,点D为BC的中点,点E在AC上,将△CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处,连结AD,则下列结论不一定正确的是()
AAE=EFBAB=2DE
C△ADF和△ADE的面积相等D△ADE和△FDE的面积相等
【答案】C
【解析】分析:先判断出△BFC是直角三角形,再利用三角形的外角判断出A正确,进而判断出AE=CE,得出CE是△ABC的中位线判断出B正确,利用等式的性质判断出D正确
详解:如图,连接CF,
∵点D是BC中点,
∴BD=CD,
由折叠知,∠ACB=∠DFE,CD=DF,
∴BD=CD=DF,
∴△BFC是直角三角形,
∴∠BFC=90°,
∴∠B=∠BFD,
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE,
∴AE=EF,故A正确,
由折叠知,EF=CE,
∴AE=CE,
∵BD=CD,
∴DE是△ABC的中位线,
∴AB=2DE,故B正确,
∵BD=DF,
∵AE=CE,
∴S△ADE=S△CDE,
由折叠知,△CDE≌△△FDE,
∴S△CDE=S△FDE,
∴S△ADE=S△FDE,故D正确,
∴C选项不正确,
故选:C
点睛:此题主要考查了折叠的性质,直角三角形的判定和性质,三角形的中位线定理,作出辅助线是解本题的关键
4(2024?广西北海?3分)如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C
落在点E处,PEDE分别交AB于点OF,且OP=OF,则cos∠ADF的值为
11 13 15 17
ABCD13 15 17 19
A
B
C
D
【答案】C
【考点】折叠问题:勾股定理列方程,解三角形,三角函数值
【解析】
由题意得:Rt△DCP≌Rt△DEP,所以DC=DE=4,CP=EP
在Rt△OEF和Rt△OBP中,∠EOF=∠BOP,∠B=∠E,OP=OF
Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS),所以OE=OB,EF=BP
设EF为x,则BP=x,DF=DE-EF=4-x,
又因为BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x
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所以,AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x
在Rt△DAF中,AF2+AD2=DF2,也就是(1+x)2+32=(4-x)2
3 3 3 17
解之得,x=5,所以EF=5,DF=4-5=5
AD 15
最终,在Rt△DAF中,cos∠ADF=DF=17
【点评】本题由题意可知,Rt△DCP≌Rt△DEP并推理出Rt△OEF≌Rt△OBP,寻找出合适的线段设未知数,运用勾股定理列方程求解,并代入求解出所求cos值即可得。
5(湖南省娄底市)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα﹣cosα=()
A B﹣ C D﹣
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长,再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值,进而可求出sinα﹣cosα的值
【解答】解:∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,
∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=
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