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锐角三角函数与特殊角
一选择题
1(2024·云南省·4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为()
A3 B C D
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,
∴∠A的正切值为==3,
故选:A
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键
2(2024?陕西?3分)如图,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为
AB2CD3
【答案】C
【解析】【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形,根据斜边AC=8可得AD=4,在Rt△ABD中,由∠B=60°,可得BD==,再由BE平分∠ABC,可得∠EBD=30°,从而可求得DE长,再根据AE=AD-DE即可
【详解】∵AD⊥BC,
∴△ADC是直角三角形,
∵∠C=45°,
∴∠DAC=45°,
∴AD=DC,
∵AC=8,
∴AD=4,
在Rt△ABD中,∠B=60°,∴BD===,
∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°,
∴DE=BD?tan30°==,
∴AE=AD-DE=,
故选C
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键
二填空题
1(2024·辽宁省阜新市)如图,在点B处测得塔顶A的仰角为30°,点B到塔底C的水平距离BC是30m,那么塔AC的高度为10m(结果保留根号)
【解答】解:∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°,∴∠B=30°
∵BC=30m,∴AC=m
故答案为:10
2(2024?莱芜?4分)计算:(π﹣314)0+2cos60°=2
【分析】原式利用零指数幂法则,特殊角的三角函数值计算即可求出值
【解答】解:原式=1+2×=1+1=2,
故答案为:2
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键
三解答题
1(2024·湖北荆州·10分)问题:已知αβ均为锐角,tanα=,tanβ=,求α+β的度数
探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出α+β的度数;
延伸:(2)设经过图中MPH三点的圆弧与AH交于R,求的弧长
【解答】解:(1)连结AMMH,则∠MHP=∠α
∵AD=MC,∠D=∠C,MD=HC,
∴△ADM≌△MCH
∴AM=MH,∠DAM=∠HMC
∵∠AMD+∠DAM=90°,
∴∠AMD+∠HMC=90°,
∴∠AMH=90°,
∴∠MHA=45°,即α+β=45°
(2)由勾股定理可知MH==
∵∠MHR=45°,
∴==
2(2024·辽宁省阜新市)(1)计算:()﹣2+﹣2cos45°;
【解答】解:(1)原式=4+3﹣2×
=4+3﹣
=4+2
3(2024?广安?9分)如图,已知AB是⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D
(1)求证:∠PCA=∠ABC
(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE,若cos∠P=,CF=10,求BE的长
【分析】(1)连接半径OC,根据切线的性质得:OC⊥PC,由圆周角定理得:∠ACB=90°,所以∠PCA=∠OCB,再由同圆的半径相等可得:∠OCB=∠ABC,从而得结论;
(2)本题介绍两种解法:
方法一:先证明∠CAF=∠ACF,则AF=CF=10,根据cos∠P=cos∠FAD=,可得AD=8,FD=6,得CD=CF+FD=16,设OC=r,OD=r﹣8,根据勾股定理列方程可得r的值,再由三角函数cos∠EAB=,可得AE的长,从而计算BE的长;
方法二:根据平行线的性质得:OC⊥AE,∠P=∠EAO,由垂直的定义得:∠OCD=∠EAO=∠P,同理利用三角函数求得:CH=8,并设AO=5x,AH=4x,表示OH=3x,OC=3x﹣8,由OC=OA列式可得x的值,最后同理得结论
【解答】证明:(1)连接OC,交AE于H,
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠ACO=90°,(1分)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,(2分)
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠PCA=∠OCB,(3分)
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠ABC,
∴∠PCA=∠ABC;(4分)
(2)方法一:∵AE∥PC,
∴∠CAF=∠PCA,
∵AB⊥CG,
∴,
∴∠ACF=∠ABC,(5分)
∵∠ABC=∠PCA,
∴∠CAF=∠ACF,
∴AF=CF=10,(6分)
∵AE∥PC,
∴∠P=
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