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几种经典初等不等式的证明及应用

摘要：本文主要是先介绍了不等式的研究背景、研究方法和研究内容。在研究内容上主要研讨了几种经典的初等不等式，在不等式中主要介绍了均值不等式的定理的证明及其应用，其次介绍了柯西不等式的定理证明以及在取值、最值和空间几何上的应用，然后介绍了Jensen不等式，在Jensen不等式中不仅探讨了定理的证明，也可以通过使用Jensen不等式去研究证明不等式和函数的最大值与最小值。本文主要通过对这三种初等不等式的研究，可以更加清楚地理解这三种初等不等式的证明方法及其应用。

关键词：初等不等式；证明与应用；柯西不等式；Jensen不等式；

1绪论

1.1研究背景

数学经典初等不等式的发展首先起始于欧洲的几个国家,欧洲的几个国家中每个国家在不等式的研究上都有所建树，并且都很成功，他们影响了世界各国对经典初等不等式的重视程度，好多国家都开始集中精力召集人才来研究经典初等不等式。所以当前，数学研究者遍布世界各个国家，他们都对经典不等式的理论和研究感兴趣。20世纪70代以来,全世界每四年召开一次一般不等式(General?Inequalities)的国际学术会议,在德国召开，并出版专门专业的会议论文集。经典初等不等式的研究成果丰富，研究成果水平很高。当然，随着科学技术的发展，我国也马上将经典不等式的研究推向高潮。在自然界中，存在的关系有等量和不等量关系，但是更多存在的还是不等量关系比较多，所以数学中不等式也就自然而然的存在了。所有数学中涉及到的初等知识，多多少少都会讲到一些不等式的，每一个经典不等式都有自己的魅力，体现出数学的美妙。其中的应用也是比较广泛的，涉及的领域多种多样。例如军事、医学、教育等等。

1.2研究目的和意义

在研究了经典初等不等式后，了解了不等式的基本性质,充分掌握经典初等不等式的定理的证明以及它们的应用，为今后继续去研究其他不等式性质及证明。对经典初等不等式也有了更深层的理解。本篇论文一开始就探究经典初等不等式与其证明和应用。感受到经典初等不等式的证明与应用,以培养认知水平为出发点,设计了一系列经典初等不等式的问题,通过体会不等式的证明方法,感受不等式结构中蕴含的价值。

经典初等不等式是不等式的重要组成部分，有很重要的意义,不等式理论在数学理论中占的地位可想而知也是非常重要的，它渗透到数学的每个领域，因此对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识是很有必要的。

在科学领域和实践生活中。我们常常会碰到一些不等式，它们在推理上很有技巧性，并且严密性上多有过度强调，不等式作为数学发展中的重要内容，在提高数学能力方面起主要作用。因此，研究经典初等不等式的证明及其应用有很重要的现实意义。

1.3本文研究的主要方法和内容

本文研究经典初等不等式的主要方法有理论法和文献资料法，归纳法—通过其他一些大量的例子来归纳出经典初等不等式常见方法和问题给出具体实例；文献资料法—以到图书馆、典藏室、知网查阅等形式了解知识，以便对课题更好的补充。

论文主要介绍了三种经典初等不等式，第一种是均值不等式，我主要先介绍了它的基本定理与推论，然后再讨论它在数学各个区域的广泛应用；第二种是柯西不等式的基本定理，之后给出了柯西不等式的证明，并且研究了柯西不等式在数学知识解题上的应用；第三种是我介绍了Jensen不等式，它的基本定理简单明了，当然证明也清晰易懂，Jensen不等式的应用同样也是非常广泛的。在研究不等式的时候，发现了很多意想不到的事情，证明不等式的方法不知凡几，而且每一种都浅显易懂。它们的应用也在生活中有着重要作用。

2均值不等式

2.1均值不等式的基本定理与推论

定理1（均值不等式）:

若，，，则，当且仅当时取“”号．

注：上述定理也可表述为两个大于零的数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。[4]

证明：在中，

，，

（当且仅当，即时，等号成立）。

推论1：若，则（当且仅当时取“”号）；

若，则或，即（当且仅当或时取“”号）。

推论2：⑴；⑵；⑶

⑷.

证明：⑴QUOTE，，，

。

⑵，。

⑶由⑴得，。

⑷QUOTE，，。

推论3：QUOTE。

证明：设，则，故在定义域上是凹函数，因此有取QUOTE，有QUOTE。

即QUOTE。

亦即QUOTE。

因为，故有QUOTE。

2.2均值不等式的应用

2.2.1在求最值问题方面的应用

首先把式子简单化为一般均值不等式的形式，然后利用均值不等式的定理进行解答。

例1假设一个数列，它的前项和QUOTE，求的最大值。

解：QUOTE，

QUOTE，

，当且仅当，即舍去时，取“”号，

的最大值为。

把题目中的式子进行变形，由然后求题目中的最值。

例2已知，，，且。

（1）求的最