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全等三角形
一填空题
1(2024·湖北荆州·3分)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC射线OC即为所求上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是
【解答】解:由作法①知,OM=ON,
由作法②知,CM=CN,
∵OC=OC,
∴△OCM≌△OCN(SSS),
故答案为:SSS
二解答题
1(2024·云南省昆明·6分)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2
求证:BC=DE
【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC;
【解答】证明:(1)∵∠1=∠2,
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中,
,
∴△ADE≌△ABC(ASA)
∴BC=DE,
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”;全等三角形的对应边相等
2(2024·云南省·6分)如图,已知AC平分∠BAD,AB=AD求证:△ABC≌△ADC
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC,利用SAS定理判断即可
【解答】证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC
【点评】本题考查的是全等三角形的判定角平分线的定义,掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键
3(2024·浙江省台州·12分)如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D,E分别在AC,BC上,且CD=CE
(1)如图1,求证:∠CAE=∠CBD;
(2)如图2,F是BD的中点,求证:AE⊥CF;
(3)如图3,F,G分别是BD,AE的中点,若AC=2,CE=1,求△CGF的面积
【分析】(1)直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论;
(2)先判断出∠BCF=∠CBF,进而得出∠BCF=∠CAE,即可得出结论;
(3)先求出BD=3,进而求出CF=,同理:EG=,再利用等面积法求出ME,进而求出GM,最后用面积公式即可得出结论
【解答】解:(1)在△ACE和△BCD中,,
∴△ACE≌△BCD,
∴∠CAE=∠CBD;
(2)如图2,在Rt△BCD中,点F是BD的中点,
∴CF=BF,
∴∠BCF=∠CBF,
由(1)知,∠CAE=∠CBD,
∴∠BCF=∠CAE,
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°,
∴∠AMC=90°,
∴AE⊥CF;
(3)如图3,∵AC=2,
∴BC=AC=2,
∵CE=1,
∴CD=CE=1,
在Rt△BCD中,根据勾股定理得,BD==3,
∵点F是BD中点,
∴CF=DF=BD=,
同理:EG=AE=,
连接EF,过点F作FH⊥BC,
∵∠ACB=90°,点F是BD的中点,
∴FH=CD=,
∴S△CEF=CE?FH=×1×=,
由(2)知,AE⊥CF,
∴S△CEF=CF?ME=×ME=ME,
∴ME=,
∴ME=,
∴GM=EG﹣ME=﹣=,
∴S△CFG=CF?GM=××=
【点评】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,三角形的中位线定理,三角形的面积公式,勾股定理,作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键
4(2024?呼和浩特?6分)如图,已知AFCD四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度
(1)证明:∵AB∥DE,
∴∠A=∠D,
∵AF=CD,
∴AF+FC=CD+FC,
即AC=DF,
∵AB=DE,
∴△ABC≌△DEF
(2)如图,连接AB交AD于O
在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,
∴DF==5,
∵四边形EFBC是菱形,
∴BE⊥CF,∴EO==,
∴OF=OC==,
∴CF=,
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=
5(2024?乐山?9分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BC=BD
证明:∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°,且∠3=∠4,∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中,,∴△ADB≌△ACB(ASA),∴BD=CD
6(2024?广安?6分)如图,四边形ABCD是正方形,M为BC上一点,连接AM,延长AD至点E,使得AE=AM,过点E作EF⊥AM,垂足为F,求证:AB=EF
【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA,可得结论
【解答】证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠
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