经济数学微积分 第4版 教案 第3、4章 一元函数积分学、多元函数微积分学.doc

第3章一元函数积分学

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第3章不定积分、定积分及其应用

本章知识结构导图

一、教学要求

1、理解不定积分的概念及性质.

2、掌握不定积分的基本公式.

3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.

4、理解定积分的概念和性质.

5、掌握变限积分的求导公式，熟练掌握定积分的N-L公式.

6、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.

7、了解反常积分和函数的定义，会计算反常积分.

8、掌握利用元素法解决定积分的几何应用.

9、掌握定积分在经济学中的简单应用.

二、教学重、难点

1、教学重点：不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、定积分的几何应用、定积分在经济学中的简单应用.

2、教学难点：换元积分法、定积分的概念、反常积分和函数、定积分的几何应用.

三、教学内容及课时划分

3.1不定积分的概念与性质3课时

3.2不定积分的换元积分法4课时

3.3不定积分的分部积分法2课时

3.4定积分的概念和性质3课时

3.5微积分基本定理2课时

3.6定积分的换元积分法与分部积分法2课时

3.7反常积分2课时

3.8定积分的几何应用与经济应用4课时

习题课4课时

计26课时

§3.1不定积分的概念与性质

教学目的：

1、了解原函数与不定积分的概念

2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式.

教学重难点：

1、重点：原函数与不定积分的概念.

2、难点：原函数的求法.

教学课时：3

教学过程：

一、问题的引入

我们有时需要解决与求导数（或微分）相反的问题,即已知函数的导数（或微分）,求其函数本身．

例如，已知曲线在处切线的斜率是函数在该点的导数值,即．但是,如果已知某曲线在处的切线斜率为,求该曲线的方程,就是一个与求导数相反的问题．

二、原函数与不定积分的概念

【定义1】设函数定义在区间上,如果存在一个函数，对任意的,都有

或

那么称为在上的一个原函数.

例如:,故是在上的一个原函数;而,故是在上的一个原函数．然而,,等都是的原函数,于是,需要考虑以下两个问题:

已知函数应具备什么条件才能保证它存在原函数？

如果存在原函数,那么它的原函数有几个？相互之间有什么关系？

【定理1】（原函数存在定理）如果函数在某区间上连续,则在上一定存在

原函数．

如果函数是的一个原函数,则有无限多个原函数,且就是的所有原函数（称为原函数族）.

【定义2】若函数是的一个原函数,则把的全体原函数称为的不定积分,记作,即．

其中叫积分号,叫被积函数,叫被积表达式,叫积分变量．

【例1】求．

【解】由于,所以,是的一个原函数,因此

．

【例2】计算不定积分．

【解】因为,所以

.

【例3】求不定积分．

【解】当时,,所以;

当时,,所以,

由绝对值的性质有:

,

从而

．

【例4】求在平面上经过点,且在任一点处的斜率为其横坐标的三倍的曲线方程．

【解】设曲线方程为,由于在任一点处的切线斜率,则有,

即．

又由于曲线经过点,得,所以

【例5】某工厂生产某产品,每日生产的总成本的变化率（边际成本）是,已知固定成本为元,求总成本．

【解】因为,所以．

又已知固定成本为万,即当时,,因此有,从而有

．

即总成本是．

三、不定积分的性质

【性质1】或.

【性质2】