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直线与直线平行单击此处添加副标题
引言:在平面几何中,我们重点研究过两条直线平行,得到了两条直线平行的判定定理和性质定理.类似的,空间中直线、平面间的平行关系也是我们立体几何中的重点研究内容.一、整体概览
直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行
直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行
1.基本事实4的探究(平行线的传递性)问题1:在同一平面内,若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.那么在空间中,是否也有类似的结论呢?二、新知探究
实例1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C1//A1B1,AB//A1B1,则D1C1与AB平行吗?
实例1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C1//A1B1,AB//A1B1,则D1C1与AB平行吗?平行
实例2再观察教室如图,黑板边所在的直线AA′和门框所在的直线CC′都平行于墙与墙的交线BB′,则CC′与AA′平行吗?
实例2再观察教室如图,黑板边所在的直线AA′和门框所在的直线CC′都平行于墙与墙的交线BB′,则CC′与AA′平行吗?平行
a∥c,b∥c符号表示:文字表示:平行于同一条直线的两条直线平行.作用:判断空间两条直线平行.基本事实4acb(平行线的传递性)图形表示:a∥b.
例1如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.(1)如何证明一个四边形是平行四边形?(2)看到条件中的中点你能想到怎样的平行关系?2.基本事实4的应用两组对边分别平行、一组对边平行且相等.分析:
?基本事实4(3)三角形的中位线,它平行且等于第三边的一半.
证明:连接BD.∵EH是△ABD的中位线,∴EH//BD,且EH=BD.同理FG//BD,且FG=BD.∴四边形EFGH为平行四边形.∴
如果题目再增加条件AC=BD,那么四边形EFGH又是什么图形?EH=HG菱形
问题2:平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补.在空间中,这一结论是否依然成立呢?3.探究并证明“等角定理”
实例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是的棱AA1,CC1的中点,则AA1与CC1,ED1与BF有怎样的位置关系?AA1//CC1,追问:∠D1EA1与∠BFC,∠D1EA与∠BFC的大小有何关系?∠D1EA+∠D1EA1=π.P△A1ED1≌△CFB,∠D1EA+∠BFC=π.∠D1EA1=∠BFCED1//BF
ABCD∠BAC=∠B1A1C1B1A1C1B1A1C1实例4(1)在∠BAC和∠B1A1C1中,AB//A1B1,AC//A1C1,则∠BAC与∠B1A1C1有怎样的大小关系?
ABCB1A1C1D∠B1A1C1+∠BAD=π∠BAC=∠B1A1C1,实例4(2)在∠BAC和∠B1A1C1中,AB//A1B1,AC//A1C1,则∠BAD与∠B1A1C1有怎样的大小关系?
问题3:通过以上2个实例,我们发现在空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,则这两个角相等或互补.你能严格地证明该结论吗?
与平面中的情况类似,当空间中两个角的两条边分别对应平行时,这两个角有如图所示的两种位置关系.下面我们对图(1)进行证明.AABBCCC′C′B′B′A′A′(1)(2)
(1)证明两个角相等的常用方法都有哪些?(2)两个三角形全等的判定定理有哪些?全等三角形对应角相等,对顶角相等,内错角相等等.SAS,ASA,SSS,AAS.分析:
(3)因为条件给出的是角,没有三角形,所以我们先要从角中构造出全等三角形,再根据全等三角形的对应角相等来进行证明,结合三角形全等的判定定理,如何在图(1)中构造出两个全等的三角形?结合(2)中的三角形全等的判定定理,可以知道只要含角的定理都无法使用,只能通过SSS进行证明,所以在两个角的两边分别截取长度相等的两组对应边,再证明第三组对边相等即可.AABBCCC′C′B′B′A′A′(1)(2)
∴四边形是平行四边形.∵,∴四边形是平行四边形.∴.同理可证.∴.证明:分别在∠BAC和∠B′A′C′的两边上截取AD,AE和,,使得AD=,AE=.连接,,,DE,.∴DE=.∴△AD
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专注于中小学各科教学多年,曾获青年岗位能手荣誉称号; 教育局评为县级优秀教师; 2013在全省高中思想政治优秀设计评选活动中荣获一等奖; 在全市高中优质课大赛中荣获一等奖; 第十一届全国中青年教师(基教)优质课评选中荣获二等奖; 2017年4月全省中小学教学设计中被评为一等奖2018年被评为市级教学能手
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