建立空间直角坐标系,解立体几何题.docx

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题

立体几何重点、热点：

求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．

常用公式：

ABx2?y2?z2?x ?

AB

x2?y2?z2

?x ?x?2??y ?y?2??z ?z?2

2 1 2 1 2 1

|PM?n|

2、求P点到平面?的距离：PN?

|n|

，（N为垂足，M为斜足，n为平面?的

法向量）

3、求直线l与平面?所成的角：|sin?|?

法向量)

|PM?n|

|PM|?|n|

，(PM?l,M??,n为?的

4、求两异面直线AB与CD的夹角：cos??

|AB?CD|

|AB|?|CD|

5、求二面角的平面角?：|cos?|?

|n?n |

1 2

，（n

，n 为二面角的两个面的法向

|n|?|n | 1 2

1 2

量）

S

6、求二面角的平面角?：cos??射影，（射影面积法）

S

7、求法向量：①找；②求：设a,b 为平面?内的任意两个向量，n?(x,y,1)为?

的法向量，

??a?n?0

则由方程组? ，可求得法向量n．

??b?n?0

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑

垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。

一﹑直接建系。

当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面

2ABCD﹑ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0?a? ）。

2

（1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小；

（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。

解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z轴建立如图所示的空间

直角坐标系B-xyz，由CM=BN=a，M(

a，0，1? a),N（ a， a，0）

22222 2 2 2

2

2

2

2

∴MN =(0，

(22a?

(

2

2

a?1)2?(

2a

2

)2

a， a?1)

22zCDM

2

2

z

C

D

M

P

B

y

E

N

A

F

x

(a?22)2?12

(a?

2

2)2?1

2

2

(a?22)

(a?

2

2)2?1

2

所以，当a=

时，MN

22

2

= ，

2min 2

2

2即M﹑N分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为 。

2

2

（3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=AN，BM=BN，所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角。

，0， ),N（ ，MN的长最小时M(1 1 1 1，0）

，0， ),N（ ，

2 2 2 2

1 1 1

由中点坐标公式P( ， ， ),又A（1，0，0），B（0，0，0）

2 4 4

∴ PA

1 1 1

PB=( ，- ，- )，

PB

1 1 1

=(- ，- ，- )

2 4 4 2 4 4

∴ cos∠APB=

PA?PB

?1?

PA ?PB4

PA ?PB

4

16

?

16

3

8

3

8

1 ? 1

=-1

3

∴ 面MNA与面MNB所成二面角α的大小为π-arccos1

3

例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E﹑F分别是AB

﹑AD的中点，GC⊥面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

由题意C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0）

∴GE=（2，4，-2），GF=（4，2，-2），BE=（2，0，0）

设平面EFG的法向量为n=（x，y，z），则n⊥GE，n⊥GF，

z

?

2x?4y?2z?0

G得 4x?2y?2z?0，

G

1 1

令z=1，得x= ，y